Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{x^{2}}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 1.1.1.1

Reescribe $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Paso 1.1.1.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 1.1.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}]$

Paso 1.1.1.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 2$ .

$- 2 x^{- 3}$

Paso 1.1.3

Simplifica.

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Paso 1.1.3.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{x^{3}}$

Paso 1.1.3.2

Combina los términos.

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Paso 1.1.3.2.1

Combina $- 2$ y $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{- 2}{x^{3}}$

Paso 1.1.3.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = - \frac{2}{x^{3}}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{2}{x^{3}}$ .

$- \frac{2}{x^{3}}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- \frac{2}{x^{3}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- \frac{2}{x^{3}} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$2 = 0$

Paso 2.3

Como $2 \neq 0$ , no hay soluciones.

No hay solución

Paso 3

No hay valores de $x$ en el dominio del problema original donde la derivada es $0$ o indefinida.

No se obtuvieron puntos críticos

Paso 4

Obtén dónde la derivada es indefinida.

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Paso 4.1

Establece el denominador en $\frac{2}{x^{3}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{3} = 0$

Paso 4.2

Resuelve $x$

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Paso 4.2.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \sqrt[3]{0}$

Paso 4.2.2

Simplifica $\sqrt[3]{0}$ .

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Paso 4.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Paso 4.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$x = 0$

Paso 5

Después de buscar el punto que hace que la derivada $f' (x) = - \frac{2}{x^{3}}$ sea igual a $0$ o indefinida, el intervalo para verificar dónde $f (x) = \frac{1}{x^{2}}$ está aumentando y dónde está disminuyendo es $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, 0)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f' (- 1) = - \frac{2}{{(- 1)}^{3}}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$f' (- 1) = - \frac{2}{- 1}$

Paso 6.2.2

Divide $2$ por $- 1$ .

$f' (- 1) = 2$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $2$ .

$2$

Paso 6.3

En $x = - 1$ la derivada es $2$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- \infty, 0)$ .

Incremento en $(- \infty, 0)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(0, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f' (1) = - \frac{2}{{(1)}^{3}}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (1) = - \frac{2}{1}$

Paso 7.2.2

Divide $2$ por $1$ .

$f' (1) = - 1 \cdot 2$

Paso 7.2.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f' (1) = - 2$

Paso 7.2.4

La respuesta final es $- 2$ .

$- 2$

Paso 7.3

En $x = 1$ la derivada es $- 2$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(0, \infty)$ .

Decrecimiento en $(0, \infty)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 8

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(- \infty, 0)$

Decrecimiento en: $(0, \infty)$

Paso 9