Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{3} x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Paso 1.1.2.3

Combina $3$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Paso 1.1.2.4

Combina $\frac{3}{3}$ y $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Paso 1.1.2.5

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.1.2.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Paso 1.1.2.5.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $- \frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{1}{2} x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{2} - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x^{2} - \frac{1}{2} (2 x)$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$x^{2} - 2 (\frac{1}{2}) x$

Paso 1.1.3.4

Combina $- 2$ y $\frac{1}{2}$ .

$x^{2} + \frac{- 2}{2} x$

Paso 1.1.3.5

Combina $\frac{- 2}{2}$ y $x$ .

$x^{2} + \frac{- 2 x}{2}$

Paso 1.1.3.6

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 1.1.3.6.1

Factoriza $2$ de $- 2 x$ .

$x^{2} + \frac{2 (- x)}{2}$

Paso 1.1.3.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.3.6.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$x^{2} + \frac{2 (- x)}{2 (1)}$

Paso 1.1.3.6.2.2

Cancela el factor común.

$x^{2} + \frac{2 (- x)}{2 \cdot 1}$

Paso 1.1.3.6.2.3

Reescribe la expresión.

$x^{2} + \frac{- x}{1}$

Paso 1.1.3.6.2.4

Divide $- x$ por $1$ .

$f' (x) = x^{2} - x$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $x^{2} - x$ .

$x^{2} - x$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $x^{2} - x = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$x^{2} - x = 0$

Paso 2.2

Factoriza $x$ de $x^{2} - x$ .

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Paso 2.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$x \cdot x - x = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza $x$ de $- x$ .

$x \cdot x + x \cdot - 1 = 0$

Paso 2.2.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x + x \cdot - 1$ .

$x (x - 1) = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 1 = 0$

Paso 2.4

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 2.5

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 2.5.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $x (x - 1) = 0$ verdadera.

$x = 0, 1$

Paso 3

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $0, 1$ .

$0, 1$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, 0)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f' (- 1) = {(- 1)}^{2} - (- 1)$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 1) = 1 - (- 1)$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f' (- 1) = 1 + 1$

Paso 5.2.2

Suma $1$ y $1$ .

$f' (- 1) = 2$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $2$ .

$2$

Paso 5.3

En $x = - 1$ la derivada es $2$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- \infty, 0)$ .

Incremento en $(- \infty, 0)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(0, 1)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{1}{2}$ en la expresión.

$f' (\frac{1}{2}) = {(\frac{1}{2})}^{2} - (\frac{1}{2})$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1^{2}}{2^{2}} - (\frac{1}{2})$

Paso 6.2.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2^{2}} - (\frac{1}{2})$

Paso 6.2.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2}$

Paso 6.2.2

Para escribir $- \frac{1}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 6.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $4$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 6.2.3.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2}$

Paso 6.2.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{4}$

Paso 6.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1 - 2}{4}$

Paso 6.2.5

Resta $2$ de $1$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- 1}{4}$

Paso 6.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{4}$

Paso 6.2.7

La respuesta final es $- \frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{4}$

Paso 6.3

En $x = \frac{1}{2}$ la derivada es $- \frac{1}{4}$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(0, 1)$ .

Decrecimiento en $(0, 1)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(1, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f' (2) = {(2)}^{2} - (2)$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f' (2) = 4 - (2)$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f' (2) = 4 - 2$

Paso 7.2.2

Resta $2$ de $4$ .

$f' (2) = 2$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $2$ .

$2$

Paso 7.3

En $x = 2$ la derivada es $2$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(1, \infty)$ .

Incremento en $(1, \infty)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 8

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(- \infty, 0), (1, \infty)$

Decrecimiento en: $(0, 1)$

Paso 9