Cálculo Ejemplos

$f (x) = - 12 x^{5} + 135 x^{4} - 400 x^{3}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 12 x^{5} + 135 x^{4} - 400 x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 12 x^{5}] + \frac{d}{d x} [135 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 400 x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (- 12 x^{5}) + \frac{d}{d x} (135 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 400 x^{3})$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 12 x^{5}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $- 12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 12 x^{5}$ con respecto a $x$ es $- 12 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$f' (x) = - 12 \frac{d}{d x} x^{5} + \frac{d}{d x} (135 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 400 x^{3})$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$f' (x) = - 12 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (135 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 400 x^{3})$

Paso 1.1.2.3

Multiplica $5$ por $- 12$ .

$f' (x) = - 60 x^{4} + \frac{d}{d x} (135 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 400 x^{3})$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [135 x^{4}]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $135$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $135 x^{4}$ con respecto a $x$ es $135 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = - 60 x^{4} + 135 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 400 x^{3})$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$f' (x) = - 60 x^{4} + 135 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 400 x^{3})$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $4$ por $135$ .

$f' (x) = - 60 x^{4} + 540 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 400 x^{3})$

Paso 1.1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 400 x^{3}]$ .

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Paso 1.1.4.1

Como $- 400$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 400 x^{3}$ con respecto a $x$ es $- 400 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = - 60 x^{4} + 540 x^{3} - 400 \frac{d}{d x} x^{3}$

Paso 1.1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f' (x) = - 60 x^{4} + 540 x^{3} - 400 (3 x^{2})$

Paso 1.1.4.3

Multiplica $3$ por $- 400$ .

$f' (x) = - 60 x^{4} + 540 x^{3} - 1200 x^{2}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- 60 x^{4} + 540 x^{3} - 1200 x^{2}$ .

$- 60 x^{4} + 540 x^{3} - 1200 x^{2}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- 60 x^{4} + 540 x^{3} - 1200 x^{2} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- 60 x^{4} + 540 x^{3} - 1200 x^{2} = 0$

Paso 2.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.2.1

Factoriza $- 60 x^{2}$ de $- 60 x^{4} + 540 x^{3} - 1200 x^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1

Factoriza $- 60 x^{2}$ de $- 60 x^{4}$ .

$- 60 x^{2} x^{2} + 540 x^{3} - 1200 x^{2} = 0$

Paso 2.2.1.2

Factoriza $- 60 x^{2}$ de $540 x^{3}$ .

$- 60 x^{2} x^{2} - 60 x^{2} (- 9 x) - 1200 x^{2} = 0$

Paso 2.2.1.3

Factoriza $- 60 x^{2}$ de $- 1200 x^{2}$ .

$- 60 x^{2} x^{2} - 60 x^{2} (- 9 x) - 60 x^{2} \cdot 20 = 0$

Paso 2.2.1.4

Factoriza $- 60 x^{2}$ de $- 60 x^{2} (x^{2}) - 60 x^{2} (- 9 x)$ .

$- 60 x^{2} (x^{2} - 9 x) - 60 x^{2} \cdot 20 = 0$

Paso 2.2.1.5

Factoriza $- 60 x^{2}$ de $- 60 x^{2} (x^{2} - 9 x) - 60 x^{2} (20)$ .

$- 60 x^{2} (x^{2} - 9 x + 20) = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza.

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Paso 2.2.2.1

Factoriza $x^{2} - 9 x + 20$ con el método AC.

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Paso 2.2.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $20$ y cuya suma es $- 9$ .

$- 5, - 4$

Paso 2.2.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$- 60 x^{2} ((x - 5) (x - 4)) = 0$

Paso 2.2.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- 60 x^{2} (x - 5) (x - 4) = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

$x - 5 = 0$

$x - 4 = 0$

Paso 2.4

Establece $x^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $x^{2}$ igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Paso 2.4.2

Resuelve $x^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 2.4.2.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 2.4.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 2.4.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 2.4.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 2.5

Establece $x - 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $x - 5$ igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Paso 2.5.2

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 5$

Paso 2.6

Establece $x - 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.6.1

Establece $x - 4$ igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Paso 2.6.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$

Paso 2.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $- 60 x^{2} (x - 5) (x - 4) = 0$ verdadera.

$x = 0, 5, 4$

Paso 3

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $0, 5, 4$ .

$0, 5, 4$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, 4) \cup (4, 5) \cup (5, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, 0)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f' (- 1) = - 60 {(- 1)}^{4} + 540 {(- 1)}^{3} - 1200 {(- 1)}^{2}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$f' (- 1) = - 60 \cdot 1 + 540 {(- 1)}^{3} - 1200 {(- 1)}^{2}$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $- 60$ por $1$ .

$f' (- 1) = - 60 + 540 {(- 1)}^{3} - 1200 {(- 1)}^{2}$

Paso 5.2.1.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$f' (- 1) = - 60 + 540 \cdot - 1 - 1200 {(- 1)}^{2}$

Paso 5.2.1.4

Multiplica $540$ por $- 1$ .

$f' (- 1) = - 60 - 540 - 1200 {(- 1)}^{2}$

Paso 5.2.1.5

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 1) = - 60 - 540 - 1200 \cdot 1$

Paso 5.2.1.6

Multiplica $- 1200$ por $1$ .

$f' (- 1) = - 60 - 540 - 1200$

Paso 5.2.2

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 5.2.2.1

Resta $540$ de $- 60$ .

$f' (- 1) = - 600 - 1200$

Paso 5.2.2.2

Resta $1200$ de $- 600$ .

$f' (- 1) = - 1800$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $- 1800$ .

$- 1800$

Paso 5.3

En $x = - 1$ la derivada es $- 1800$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- \infty, 0)$ .

Decrecimiento en $(- \infty, 0)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(0, 4)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f' (2) = - 60 {(2)}^{4} + 540 {(2)}^{3} - 1200 {(2)}^{2}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$f' (2) = - 60 \cdot 16 + 540 {(2)}^{3} - 1200 {(2)}^{2}$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $- 60$ por $16$ .

$f' (2) = - 960 + 540 {(2)}^{3} - 1200 {(2)}^{2}$

Paso 6.2.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f' (2) = - 960 + 540 \cdot 8 - 1200 {(2)}^{2}$

Paso 6.2.1.4

Multiplica $540$ por $8$ .

$f' (2) = - 960 + 4320 - 1200 {(2)}^{2}$

Paso 6.2.1.5

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f' (2) = - 960 + 4320 - 1200 \cdot 4$

Paso 6.2.1.6

Multiplica $- 1200$ por $4$ .

$f' (2) = - 960 + 4320 - 4800$

Paso 6.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 6.2.2.1

Suma $- 960$ y $4320$ .

$f' (2) = 3360 - 4800$

Paso 6.2.2.2

Resta $4800$ de $3360$ .

$f' (2) = - 1440$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $- 1440$ .

$- 1440$

Paso 6.3

En $x = 2$ la derivada es $- 1440$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(0, 4)$ .

Decrecimiento en $(0, 4)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(4, 5)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{9}{2}$ en la expresión.

$f' (\frac{9}{2}) = - 60 {(\frac{9}{2})}^{4} + 540 {(\frac{9}{2})}^{3} - 1200 {(\frac{9}{2})}^{2}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{9}{2}$ .

$f' (\frac{9}{2}) = - 60 \frac{9^{4}}{2^{4}} + 540 {(\frac{9}{2})}^{3} - 1200 {(\frac{9}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.2

Eleva $9$ a la potencia de $4$ .

$f' (\frac{9}{2}) = - 60 \frac{6561}{2^{4}} + 540 {(\frac{9}{2})}^{3} - 1200 {(\frac{9}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$f' (\frac{9}{2}) = - 60 (\frac{6561}{16}) + 540 {(\frac{9}{2})}^{3} - 1200 {(\frac{9}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.4

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 7.2.1.4.1

Factoriza $4$ de $- 60$ .

$f' (\frac{9}{2}) = 4 (- 15) (\frac{6561}{16}) + 540 {(\frac{9}{2})}^{3} - 1200 {(\frac{9}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.4.2

Factoriza $4$ de $16$ .

$f' (\frac{9}{2}) = 4 \cdot (- 15 \frac{6561}{4 \cdot 4}) + 540 {(\frac{9}{2})}^{3} - 1200 {(\frac{9}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.4.3

Cancela el factor común.

$f' (\frac{9}{2}) = 4 \cdot (- 15 \frac{6561}{4 \cdot 4}) + 540 {(\frac{9}{2})}^{3} - 1200 {(\frac{9}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.4.4

Reescribe la expresión.

$f' (\frac{9}{2}) = - 15 (\frac{6561}{4}) + 540 {(\frac{9}{2})}^{3} - 1200 {(\frac{9}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.5

Combina $- 15$ y $\frac{6561}{4}$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{- 15 \cdot 6561}{4} + 540 {(\frac{9}{2})}^{3} - 1200 {(\frac{9}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.6

Multiplica $- 15$ por $6561$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{- 98415}{4} + 540 {(\frac{9}{2})}^{3} - 1200 {(\frac{9}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (\frac{9}{2}) = - \frac{98415}{4} + 540 {(\frac{9}{2})}^{3} - 1200 {(\frac{9}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.8

Aplica la regla del producto a $\frac{9}{2}$ .

$f' (\frac{9}{2}) = - \frac{98415}{4} + 540 (\frac{9^{3}}{2^{3}}) - 1200 {(\frac{9}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.9

Eleva $9$ a la potencia de $3$ .

$f' (\frac{9}{2}) = - \frac{98415}{4} + 540 (\frac{729}{2^{3}}) - 1200 {(\frac{9}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.10

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f' (\frac{9}{2}) = - \frac{98415}{4} + 540 (\frac{729}{8}) - 1200 {(\frac{9}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.11

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 7.2.1.11.1

Factoriza $4$ de $540$ .

$f' (\frac{9}{2}) = - \frac{98415}{4} + 4 (135) (\frac{729}{8}) - 1200 {(\frac{9}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.11.2

Factoriza $4$ de $8$ .

$f' (\frac{9}{2}) = - \frac{98415}{4} + 4 \cdot (135 (\frac{729}{4 \cdot 2})) - 1200 {(\frac{9}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.11.3

Cancela el factor común.

$f' (\frac{9}{2}) = - \frac{98415}{4} + 4 \cdot (135 (\frac{729}{4 \cdot 2})) - 1200 {(\frac{9}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.11.4

Reescribe la expresión.

$f' (\frac{9}{2}) = - \frac{98415}{4} + 135 (\frac{729}{2}) - 1200 {(\frac{9}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.12

Combina $135$ y $\frac{729}{2}$ .

$f' (\frac{9}{2}) = - \frac{98415}{4} + \frac{135 \cdot 729}{2} - 1200 {(\frac{9}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.13

Multiplica $135$ por $729$ .

$f' (\frac{9}{2}) = - \frac{98415}{4} + \frac{98415}{2} - 1200 {(\frac{9}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.14

Aplica la regla del producto a $\frac{9}{2}$ .

$f' (\frac{9}{2}) = - \frac{98415}{4} + \frac{98415}{2} - 1200 \frac{9^{2}}{2^{2}}$

Paso 7.2.1.15

Eleva $9$ a la potencia de $2$ .

$f' (\frac{9}{2}) = - \frac{98415}{4} + \frac{98415}{2} - 1200 \frac{81}{2^{2}}$

Paso 7.2.1.16

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f' (\frac{9}{2}) = - \frac{98415}{4} + \frac{98415}{2} - 1200 (\frac{81}{4})$

Paso 7.2.1.17

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 7.2.1.17.1

Factoriza $4$ de $- 1200$ .

$f' (\frac{9}{2}) = - \frac{98415}{4} + \frac{98415}{2} + 4 (- 300) (\frac{81}{4})$

Paso 7.2.1.17.2

Cancela el factor común.

$f' (\frac{9}{2}) = - \frac{98415}{4} + \frac{98415}{2} + 4 \cdot (- 300 (\frac{81}{4}))$

Paso 7.2.1.17.3

Reescribe la expresión.

$f' (\frac{9}{2}) = - \frac{98415}{4} + \frac{98415}{2} - 300 \cdot 81$

Paso 7.2.1.18

Multiplica $- 300$ por $81$ .

$f' (\frac{9}{2}) = - \frac{98415}{4} + \frac{98415}{2} - 24300$

Paso 7.2.2

Obtén el denominador común

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Paso 7.2.2.1

Multiplica $\frac{98415}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{9}{2}) = - \frac{98415}{4} + \frac{98415}{2} \cdot \frac{2}{2} - 24300$

Paso 7.2.2.2

Multiplica $\frac{98415}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{9}{2}) = - \frac{98415}{4} + \frac{98415 \cdot 2}{2 \cdot 2} - 24300$

Paso 7.2.2.3

Escribe $- 24300$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f' (\frac{9}{2}) = - \frac{98415}{4} + \frac{98415 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 24300}{1}$

Paso 7.2.2.4

Multiplica $\frac{- 24300}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f' (\frac{9}{2}) = - \frac{98415}{4} + \frac{98415 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 24300}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Paso 7.2.2.5

Multiplica $\frac{- 24300}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f' (\frac{9}{2}) = - \frac{98415}{4} + \frac{98415 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 24300 \cdot 4}{4}$

Paso 7.2.2.6

Multiplica $2$ por $2$ .

$f' (\frac{9}{2}) = - \frac{98415}{4} + \frac{98415 \cdot 2}{4} + \frac{- 24300 \cdot 4}{4}$

Paso 7.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{- 98415 + 98415 \cdot 2 - 24300 \cdot 4}{4}$

Paso 7.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.4.1

Multiplica $98415$ por $2$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{- 98415 + 196830 - 24300 \cdot 4}{4}$

Paso 7.2.4.2

Multiplica $- 24300$ por $4$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{- 98415 + 196830 - 97200}{4}$

Paso 7.2.5

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 7.2.5.1

Suma $- 98415$ y $196830$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{98415 - 97200}{4}$

Paso 7.2.5.2

Resta $97200$ de $98415$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{1215}{4}$

Paso 7.2.6

La respuesta final es $\frac{1215}{4}$ .

$\frac{1215}{4}$

Paso 7.3

En $x = \frac{9}{2}$ la derivada es $\frac{1215}{4}$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(4, 5)$ .

Incremento en $(4, 5)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(5, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $6$ en la expresión.

$f' (6) = - 60 {(6)}^{4} + 540 {(6)}^{3} - 1200 {(6)}^{2}$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.1.1

Eleva $6$ a la potencia de $4$ .

$f' (6) = - 60 \cdot 1296 + 540 {(6)}^{3} - 1200 {(6)}^{2}$

Paso 8.2.1.2

Multiplica $- 60$ por $1296$ .

$f' (6) = - 77760 + 540 {(6)}^{3} - 1200 {(6)}^{2}$

Paso 8.2.1.3

Eleva $6$ a la potencia de $3$ .

$f' (6) = - 77760 + 540 \cdot 216 - 1200 {(6)}^{2}$

Paso 8.2.1.4

Multiplica $540$ por $216$ .

$f' (6) = - 77760 + 116640 - 1200 {(6)}^{2}$

Paso 8.2.1.5

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$f' (6) = - 77760 + 116640 - 1200 \cdot 36$

Paso 8.2.1.6

Multiplica $- 1200$ por $36$ .

$f' (6) = - 77760 + 116640 - 43200$

Paso 8.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.2.1

Suma $- 77760$ y $116640$ .

$f' (6) = 38880 - 43200$

Paso 8.2.2.2

Resta $43200$ de $38880$ .

$f' (6) = - 4320$

Paso 8.2.3

La respuesta final es $- 4320$ .

$- 4320$

Paso 8.3

En $x = 6$ la derivada es $- 4320$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(5, \infty)$ .

Decrecimiento en $(5, \infty)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 9

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(4, 5)$

Decrecimiento en: $(- \infty, 0), (0, 4), (5, \infty)$

Paso 10