Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{4} - 32 x + 4$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} - 32 x + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 32 x) + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 1.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 32 x) + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 32 x]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $- 32$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 32 x$ con respecto a $x$ es $- 32 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 32 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 32 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 1.1.2.3

Multiplica $- 32$ por $1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 32 + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.3.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 32 + 0$

Paso 1.1.3.2

Suma $4 x^{3} - 32$ y $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 32$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $4 x^{3} - 32$ .

$4 x^{3} - 32$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $4 x^{3} - 32 = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$4 x^{3} - 32 = 0$

Paso 2.2

Suma $32$ a ambos lados de la ecuación.

$4 x^{3} = 32$

Paso 2.3

Resta $32$ de ambos lados de la ecuación.

$4 x^{3} - 32 = 0$

Paso 2.4

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.4.1

Factoriza $4$ de $4 x^{3} - 32$ .

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Paso 2.4.1.1

Factoriza $4$ de $4 x^{3}$ .

$4 (x^{3}) - 32 = 0$

Paso 2.4.1.2

Factoriza $4$ de $- 32$ .

$4 x^{3} + 4 \cdot - 8 = 0$

Paso 2.4.1.3

Factoriza $4$ de $4 x^{3} + 4 \cdot - 8$ .

$4 (x^{3} - 8) = 0$

Paso 2.4.2

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$4 (x^{3} - 2^{3}) = 0$

Paso 2.4.3

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$4 ((x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

Paso 2.4.4

Factoriza.

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Paso 2.4.4.1

Simplifica.

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Paso 2.4.4.1.1

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$4 ((x - 2) (x^{2} + 2 x + 2^{2})) = 0$

Paso 2.4.4.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$4 ((x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)) = 0$

Paso 2.4.4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$4 (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$

Paso 2.5

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Paso 2.6

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.6.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 2.6.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 2.7

Establece $x^{2} + 2 x + 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.7.1

Establece $x^{2} + 2 x + 4$ igual a $0$ .

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Paso 2.7.2

Resuelve $x^{2} + 2 x + 4 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.7.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 2.7.2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 2$ y $c = 4$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.7.2.3

Simplifica.

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Paso 2.7.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.7.2.3.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.7.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Paso 2.7.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.7.2.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.7.2.3.1.3

Resta $16$ de $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.7.2.3.1.4

Reescribe $- 12$ como $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.7.2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (12)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.7.2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.7.2.3.1.7

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Paso 2.7.2.3.1.7.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.7.2.3.1.7.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.7.2.3.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Paso 2.7.2.3.1.9

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.7.2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.7.2.3.3

Simplifica $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Paso 2.7.2.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 2.7.2.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.7.2.4.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.7.2.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Paso 2.7.2.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.7.2.4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.7.2.4.1.3

Resta $16$ de $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.7.2.4.1.4

Reescribe $- 12$ como $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.7.2.4.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (12)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.7.2.4.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.7.2.4.1.7

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Paso 2.7.2.4.1.7.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.7.2.4.1.7.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.7.2.4.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Paso 2.7.2.4.1.9

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.7.2.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.7.2.4.3

Simplifica $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Paso 2.7.2.4.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = - 1 + i \sqrt{3}$

Paso 2.7.2.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 2.7.2.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.7.2.5.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.7.2.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Paso 2.7.2.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.7.2.5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.7.2.5.1.3

Resta $16$ de $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.7.2.5.1.4

Reescribe $- 12$ como $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.7.2.5.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (12)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.7.2.5.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.7.2.5.1.7

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Paso 2.7.2.5.1.7.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.7.2.5.1.7.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.7.2.5.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Paso 2.7.2.5.1.9

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.7.2.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.7.2.5.3

Simplifica $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Paso 2.7.2.5.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = - 1 - i \sqrt{3}$

Paso 2.7.2.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Paso 2.8

La solución final comprende todos los valores que hacen $4 (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$ verdadera.

$x = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Paso 3

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $2$ .

$2$

Paso 4

Después de buscar el punto que hace que la derivada $f' (x) = 4 x^{3} - 32$ sea igual a $0$ o indefinida, el intervalo para verificar dónde $f (x) = x^{4} - 32 x + 4$ está aumentando y dónde está disminuyendo es $(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$ .

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, 2)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f' (1) = 4 {(1)}^{3} - 32$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (1) = 4 \cdot 1 - 32$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$f' (1) = 4 - 32$

Paso 5.2.2

Resta $32$ de $4$ .

$f' (1) = - 28$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $- 28$ .

$- 28$

Paso 5.3

En $x = 1$ la derivada es $- 28$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- \infty, 2)$ .

Decrecimiento en $(- \infty, 2)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(2, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $3$ en la expresión.

$f' (3) = 4 {(3)}^{3} - 32$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$f' (3) = 4 \cdot 27 - 32$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $4$ por $27$ .

$f' (3) = 108 - 32$

Paso 6.2.2

Resta $32$ de $108$ .

$f' (3) = 76$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $76$ .

$76$

Paso 6.3

En $x = 3$ la derivada es $76$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(2, \infty)$ .

Incremento en $(2, \infty)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 7

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(2, \infty)$

Decrecimiento en: $(- \infty, 2)$

Paso 8