Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{4} - 6 x^{2}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} - 6 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2})$

Paso 1.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2})$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 6 \frac{d}{d x} x^{2}$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 6 (2 x)$

Paso 1.1.2.3

Multiplica $2$ por $- 6$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $4 x^{3} - 12 x$ .

$4 x^{3} - 12 x$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $4 x^{3} - 12 x = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$4 x^{3} - 12 x = 0$

Paso 2.2

Factoriza $4 x$ de $4 x^{3} - 12 x$ .

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Paso 2.2.1

Factoriza $4 x$ de $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 12 x = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza $4 x$ de $- 12 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 3) = 0$

Paso 2.2.3

Factoriza $4 x$ de $4 x (x^{2}) + 4 x (- 3)$ .

$4 x (x^{2} - 3) = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 3 = 0$

Paso 2.4

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 2.5

Establece $x^{2} - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $x^{2} - 3$ igual a $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

Paso 2.5.2

Resuelve $x^{2} - 3 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.5.2.1

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = 3$

Paso 2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

Paso 2.5.2.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.5.2.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \sqrt{3}$

Paso 2.5.2.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \sqrt{3}$

Paso 2.5.2.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $4 x (x^{2} - 3) = 0$ verdadera.

$x = 0, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Paso 3

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $0, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$ .

$0, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, - \sqrt{3}) \cup (- \sqrt{3}, 0) \cup (0, \sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - \sqrt{3})$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2.7320508$ en la expresión.

$f' (- 2.7320508) = 4 {(- 2.7320508)}^{3} - 12 \cdot - 2.7320508$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Eleva $- 2.7320508$ a la potencia de $3$ .

$f' (- 2.7320508) = 4 \cdot - 20.39230467 - 12 \cdot - 2.7320508$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $4$ por $- 20.39230467$ .

$f' (- 2.7320508) = - 81.5692187 - 12 \cdot - 2.7320508$

Paso 5.2.1.3

Multiplica $- 12$ por $- 2.7320508$ .

$f' (- 2.7320508) = - 81.5692187 + 32.7846096$

Paso 5.2.2

Suma $- 81.5692187$ y $32.7846096$ .

$f' (- 2.7320508) = - 48.7846091$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $- 48.7846091$ .

$- 48.7846091$

Paso 5.3

En $x = - 2.7320508$ la derivada es $- 48.7846091$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- \infty, - \sqrt{3})$ .

Decrecimiento en $(- \infty, - \sqrt{3})$ desde $f' (x) < 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- 1.7320508, 0)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 0.8660254$ en la expresión.

$f' (- 0.8660254) = 4 {(- 0.8660254)}^{3} - 12 \cdot - 0.8660254$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Eleva $- 0.8660254$ a la potencia de $3$ .

$f' (- 0.8660254) = 4 \cdot - 0.64951904 - 12 \cdot - 0.8660254$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $4$ por $- 0.64951904$ .

$f' (- 0.8660254) = - 2.59807617 - 12 \cdot - 0.8660254$

Paso 6.2.1.3

Multiplica $- 12$ por $- 0.8660254$ .

$f' (- 0.8660254) = - 2.59807617 + 10.3923048$

Paso 6.2.2

Suma $- 2.59807617$ y $10.3923048$ .

$f' (- 0.8660254) = 7.79422862$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $7.79422862$ .

$7.79422862$

Paso 6.3

En $x = - 0.8660254$ la derivada es $7.79422862$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- 1.7320508, 0)$ .

Incremento en $(- \sqrt{3}, 0)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(0, \sqrt{3})$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.8660254$ en la expresión.

$f' (0.8660254) = 4 {(0.8660254)}^{3} - 12 \cdot 0.8660254$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Eleva $0.8660254$ a la potencia de $3$ .

$f' (0.8660254) = 4 \cdot 0.64951904 - 12 \cdot 0.8660254$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $4$ por $0.64951904$ .

$f' (0.8660254) = 2.59807617 - 12 \cdot 0.8660254$

Paso 7.2.1.3

Multiplica $- 12$ por $0.8660254$ .

$f' (0.8660254) = 2.59807617 - 10.3923048$

Paso 7.2.2

Resta $10.3923048$ de $2.59807617$ .

$f' (0.8660254) = - 7.79422862$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $- 7.79422862$ .

$- 7.79422862$

Paso 7.3

En $x = 0.8660254$ la derivada es $- 7.79422862$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(0, \sqrt{3})$ .

Decrecimiento en $(0, \sqrt{3})$ desde $f' (x) < 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(\sqrt{3}, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $2.7320508$ en la expresión.

$f' (2.7320508) = 4 {(2.7320508)}^{3} - 12 \cdot 2.7320508$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.1.1

Eleva $2.7320508$ a la potencia de $3$ .

$f' (2.7320508) = 4 \cdot 20.39230467 - 12 \cdot 2.7320508$

Paso 8.2.1.2

Multiplica $4$ por $20.39230467$ .

$f' (2.7320508) = 81.5692187 - 12 \cdot 2.7320508$

Paso 8.2.1.3

Multiplica $- 12$ por $2.7320508$ .

$f' (2.7320508) = 81.5692187 - 32.7846096$

Paso 8.2.2

Resta $32.7846096$ de $81.5692187$ .

$f' (2.7320508) = 48.7846091$

Paso 8.2.3

La respuesta final es $48.7846091$ .

$48.7846091$

Paso 8.3

En $x = 2.7320508$ la derivada es $48.7846091$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(\sqrt{3}, \infty)$ .

Incremento en $(\sqrt{3}, \infty)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 9

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(- \sqrt{3}, 0), (\sqrt{3}, \infty)$

Decrecimiento en: $(- \infty, - \sqrt{3}), (0, \sqrt{3})$

Paso 10