Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{4} + 2 x^{2}$ , $a = 1$

Paso 1

Considera la función utilizada para buscar la linealización en $a$ .

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

Paso 2

Sustituye el valor de $a = 1$ en la función de linealización.

$L (x) = f (1) + f' (1) (x - 1)$

Paso 3

Evalúa $f (1)$ .

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Paso 3.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = {(1)}^{4} + 2 {(1)}^{2}$

Paso 3.2

Simplifica ${(1)}^{4} + 2 {(1)}^{2}$ .

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Paso 3.2.1

Elimina los paréntesis.

${(1)}^{4} + 2 {(1)}^{2}$

Paso 3.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 + 2 {(1)}^{2}$

Paso 3.2.2.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 + 2 \cdot 1$

Paso 3.2.2.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$1 + 2$

Paso 3.2.3

Suma $1$ y $2$ .

$3$

Paso 4

Obtén la derivada y evalúala en $1$ .

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Paso 4.1

Obtén la derivada de $f (x) = x^{4} + 2 x^{2}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia.

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Paso 4.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} + 2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Paso 4.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Paso 4.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Paso 4.1.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 4.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$4 x^{3} + 2 (2 x)$

Paso 4.1.2.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 x^{3} + 4 x$

Paso 4.2

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$4 {(1)}^{3} + 4 (1)$

Paso 4.3

Simplifica.

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Paso 4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$4 \cdot 1 + 4 (1)$

Paso 4.3.1.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$4 + 4 (1)$

Paso 4.3.1.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$4 + 4$

Paso 4.3.2

Suma $4$ y $4$ .

$8$

Paso 5

Sustituye los componentes en la función de linealización para obtener la linealización en $a$ .

$L (x) = 3 + 8 (x - 1)$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$L (x) = 3 + 8 x + 8 \cdot - 1$

Paso 6.1.2

Multiplica $8$ por $- 1$ .

$L (x) = 3 + 8 x - 8$

Paso 6.2

Resta $8$ de $3$ .

$L (x) = 8 x - 5$

Paso 7