Cálculo Ejemplos

$y = \sqrt{3} x + 2 \cos (x)$

Paso 1

Establece $y$ como una función de $x$ .

$f (x) = \sqrt{3} x + 2 \cos (x)$

Paso 2

Obtén la derivada.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\sqrt{3} x + 2 \cos (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\sqrt{3} x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{3} x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\sqrt{3} x]$ .

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Paso 2.2.1

Como $\sqrt{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\sqrt{3} x$ con respecto a $x$ es $\sqrt{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sqrt{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\sqrt{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Paso 2.2.3

Multiplica $\sqrt{3}$ por $1$ .

$\sqrt{3} + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

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Paso 2.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 \cos (x)$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\sqrt{3} + 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 2.3.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$\sqrt{3} + 2 (- \sin (x))$

Paso 2.3.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\sqrt{3} - 2 \sin (x)$

Paso 2.4

Reordena los términos.

$- 2 \sin (x) + \sqrt{3}$

Paso 3

Establece la derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $- 2 \sin (x) + \sqrt{3} = 0$ .

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Paso 3.1

Resta $\sqrt{3}$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 \sin (x) = - \sqrt{3}$

Paso 3.2

Divide cada término en $- 2 \sin (x) = - \sqrt{3}$ por $- 2$ y simplifica.

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Paso 3.2.1

Divide cada término en $- 2 \sin (x) = - \sqrt{3}$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- \sqrt{3}}{- 2}$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- \sqrt{3}}{- 2}$

Paso 3.2.2.1.2

Divide $\sin (x)$ por $1$ .

$\sin (x) = \frac{- \sqrt{3}}{- 2}$

Paso 3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 3.3

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Paso 3.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.1

El valor exacto de $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ es $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Paso 3.5

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = π - \frac{π}{3}$

Paso 3.6

Simplifica $π - \frac{π}{3}$ .

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Paso 3.6.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$x = π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 3.6.2

Combina fracciones.

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Paso 3.6.2.1

Combina $π$ y $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 3.6.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Paso 3.6.3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.6.3.1

Mueve $3$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{3 \cdot π - π}{3}$

Paso 3.6.3.2

Resta $π$ de $3 π$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Paso 3.7

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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Paso 3.7.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 3.7.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 3.7.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 3.7.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 3.8

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 4

Resuelve la función original $f (x) = \sqrt{3} x + 2 \cos (x)$ en $x = \frac{π}{3}$ .

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Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{π}{3}$ en la expresión.

$f (\frac{π}{3}) = \sqrt{3} (\frac{π}{3}) + 2 \cos (\frac{π}{3})$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Combina $\sqrt{3}$ y $\frac{π}{3}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3} π}{3} + 2 \cos (\frac{π}{3})$

Paso 4.2.1.2

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{3})$ es $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3} π}{3} + 2 (\frac{1}{2})$

Paso 4.2.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.1.3.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3} π}{3} + 2 (\frac{1}{2})$

Paso 4.2.1.3.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3} π}{3} + 1$

Paso 4.2.2

La respuesta final es $\frac{\sqrt{3} π}{3} + 1$ .

$\frac{\sqrt{3} π}{3} + 1$

Paso 5

Resuelve la función original $f (x) = \sqrt{3} x + 2 \cos (x)$ en $x = \frac{2 π}{3}$ .

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{2 π}{3}$ en la expresión.

$f (\frac{2 π}{3}) = \sqrt{3} (\frac{2 π}{3}) + 2 \cos (\frac{2 π}{3})$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Combina $\sqrt{3}$ y $\frac{2 π}{3}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{\sqrt{3} (2 π)}{3} + 2 \cos (\frac{2 π}{3})$

Paso 5.2.1.2

Mueve $2$ a la izquierda de $\sqrt{3}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 \cdot (\sqrt{3} π)}{3} + 2 \cos (\frac{2 π}{3})$

Paso 5.2.1.3

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 \sqrt{3} π}{3} + 2 (- \cos (\frac{π}{3}))$

Paso 5.2.1.4

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{3})$ es $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 \sqrt{3} π}{3} + 2 (- \frac{1}{2})$

Paso 5.2.1.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.1.5.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{2}$ al numerador.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 \sqrt{3} π}{3} + 2 (\frac{- 1}{2})$

Paso 5.2.1.5.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 \sqrt{3} π}{3} + 2 (\frac{- 1}{2})$

Paso 5.2.1.5.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 \sqrt{3} π}{3} - 1$

Paso 5.2.2

La respuesta final es $\frac{2 \sqrt{3} π}{3} - 1$ .

$\frac{2 \sqrt{3} π}{3} - 1$

Paso 6

Las tangentes horizontales en la función $f (x) = \sqrt{3} x + 2 \cos (x)$ son $y = \frac{\sqrt{3} π}{3} + 1, y = \frac{2 \sqrt{3} π}{3} - 1$ .

$y = \frac{\sqrt{3} π}{3} + 1, y = \frac{2 \sqrt{3} π}{3} - 1$

Paso 7