Cálculo Ejemplos

$y = x^{2} + 3 x$

Paso 1

Establece $y$ como una función de $x$ .

$f (x) = x^{2} + 3 x$

Paso 2

Obtén la derivada.

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Paso 2.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 3 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Paso 2.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 3 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 x + 3 \cdot 1$

Paso 2.2.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$2 x + 3$

Paso 3

Establece la derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $2 x + 3 = 0$ .

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Paso 3.1

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x = - 3$

Paso 3.2

Divide cada término en $2 x = - 3$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.2.1

Divide cada término en $2 x = - 3$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Paso 3.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 3}{2}$

Paso 3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{3}{2}$

Paso 4

Resuelve la función original $f (x) = x^{2} + 3 x$ en $x = - \frac{3}{2}$ .

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Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \frac{3}{2}$ en la expresión.

$f (- \frac{3}{2}) = {(- \frac{3}{2})}^{2} + 3 (- \frac{3}{2})$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 4.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{3}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = {(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2} + 3 (- \frac{3}{2})$

Paso 4.2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = {(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}}) + 3 (- \frac{3}{2})$

Paso 4.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = 1 (\frac{3^{2}}{2^{2}}) + 3 (- \frac{3}{2})$

Paso 4.2.1.3

Multiplica $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{3^{2}}{2^{2}} + 3 (- \frac{3}{2})$

Paso 4.2.1.4

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{2^{2}} + 3 (- \frac{3}{2})$

Paso 4.2.1.5

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{4} + 3 (- \frac{3}{2})$

Paso 4.2.1.6

Multiplica $3 (- \frac{3}{2})$ .

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Paso 4.2.1.6.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{4} - 3 (\frac{3}{2})$

Paso 4.2.1.6.2

Combina $- 3$ y $\frac{3}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{4} + \frac{- 3 \cdot 3}{2}$

Paso 4.2.1.6.3

Multiplica $- 3$ por $3$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{4} + \frac{- 9}{2}$

Paso 4.2.1.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9}{2}$

Paso 4.2.2

Para escribir $- \frac{9}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 4.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $4$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.2.3.1

Multiplica $\frac{9}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Paso 4.2.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{4}$

Paso 4.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9 - 9 \cdot 2}{4}$

Paso 4.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.5.1

Multiplica $- 9$ por $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9 - 18}{4}$

Paso 4.2.5.2

Resta $18$ de $9$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{- 9}{4}$

Paso 4.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- \frac{3}{2}) = - \frac{9}{4}$

Paso 4.2.7

La respuesta final es $- \frac{9}{4}$ .

$- \frac{9}{4}$

Paso 5

La tangente horizontal en la función $f (x) = x^{2} + 3 x$ es $y = - \frac{9}{4}$ .

$y = - \frac{9}{4}$

Paso 6