Cálculo Ejemplos

$y = x^{4} - 3 x^{2} + 2$

Paso 1

Establece $y$ como una función de $x$ .

$f (x) = x^{4} - 3 x^{2} + 2$

Paso 2

Obtén la derivada.

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Paso 2.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} - 3 x^{2} + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$4 x^{3} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.2.3

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$4 x^{3} - 6 x + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$4 x^{3} - 6 x + 0$

Paso 2.3.2

Suma $4 x^{3} - 6 x$ y $0$ .

$4 x^{3} - 6 x$

Paso 3

Establece la derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $4 x^{3} - 6 x = 0$ .

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Paso 3.1

Factoriza $2 x$ de $4 x^{3} - 6 x$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $2 x$ de $4 x^{3}$ .

$2 x (2 x^{2}) - 6 x = 0$

Paso 3.1.2

Factoriza $2 x$ de $- 6 x$ .

$2 x (2 x^{2}) + 2 x (- 3) = 0$

Paso 3.1.3

Factoriza $2 x$ de $2 x (2 x^{2}) + 2 x (- 3)$ .

$2 x (2 x^{2} - 3) = 0$

Paso 3.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$2 x^{2} - 3 = 0$

Paso 3.3

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 3.4

Establece $2 x^{2} - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.4.1

Establece $2 x^{2} - 3$ igual a $0$ .

$2 x^{2} - 3 = 0$

Paso 3.4.2

Resuelve $2 x^{2} - 3 = 0$ en $x$ .

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Paso 3.4.2.1

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x^{2} = 3$

Paso 3.4.2.2

Divide cada término en $2 x^{2} = 3$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.4.2.2.1

Divide cada término en $2 x^{2} = 3$ por $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{3}{2}$

Paso 3.4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.4.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{3}{2}$

Paso 3.4.2.2.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{3}{2}$

Paso 3.4.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{3}{2}}$

Paso 3.4.2.4

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{3}{2}}$ .

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Paso 3.4.2.4.1

Reescribe $\sqrt{\frac{3}{2}}$ como $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

Paso 3.4.2.4.2

Multiplica $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Paso 3.4.2.4.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 3.4.2.4.3.1

Multiplica $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 3.4.2.4.3.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Paso 3.4.2.4.3.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Paso 3.4.2.4.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Paso 3.4.2.4.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 3.4.2.4.3.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 3.4.2.4.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 3.4.2.4.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 3.4.2.4.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.4.2.4.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.4.2.4.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.4.2.4.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Paso 3.4.2.4.3.6.5

Evalúa el exponente.

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2}$

Paso 3.4.2.4.4

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.2.4.4.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$x = \pm \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2}$

Paso 3.4.2.4.4.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{6}}{2}$

Paso 3.4.2.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.4.2.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{\sqrt{6}}{2}$

Paso 3.4.2.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{\sqrt{6}}{2}$

Paso 3.4.2.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{\sqrt{6}}{2}, - \frac{\sqrt{6}}{2}$

Paso 3.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $2 x (2 x^{2} - 3) = 0$ verdadera.

$x = 0, \frac{\sqrt{6}}{2}, - \frac{\sqrt{6}}{2}$

Paso 4

Resuelve la función original $f (x) = x^{4} - 3 x^{2} + 2$ en $x = 0$ .

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Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = {(0)}^{4} - 3 {(0)}^{2} + 2$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 0 - 3 {(0)}^{2} + 2$

Paso 4.2.1.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 0 - 3 \cdot 0 + 2$

Paso 4.2.1.3

Multiplica $- 3$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 2$

Paso 4.2.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 4.2.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$f (0) = 0 + 2$

Paso 4.2.2.2

Suma $0$ y $2$ .

$f (0) = 2$

Paso 4.2.3

La respuesta final es $2$ .

$2$

Paso 5

Resuelve la función original $f (x) = x^{4} - 3 x^{2} + 2$ en $x = \frac{\sqrt{6}}{2}$ .

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{\sqrt{6}}{2}$ en la expresión.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{4} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{6}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{{\sqrt{6}}^{4}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

Paso 5.2.1.2

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.1.2.1

Reescribe ${\sqrt{6}}^{4}$ como $6^{2}$ .

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Paso 5.2.1.2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{6}$ como $6^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{{(6^{\frac{1}{2}})}^{4}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

Paso 5.2.1.2.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{6^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

Paso 5.2.1.2.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $4$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{6^{\frac{4}{2}}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

Paso 5.2.1.2.1.4

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 5.2.1.2.1.4.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{6^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

Paso 5.2.1.2.1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.1.2.1.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{6^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

Paso 5.2.1.2.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{6^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

Paso 5.2.1.2.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{6^{\frac{2}{1}}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

Paso 5.2.1.2.1.4.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{6^{2}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

Paso 5.2.1.2.2

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{36}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

Paso 5.2.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{36}{16} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

Paso 5.2.1.4

Cancela el factor común de $36$ y $16$ .

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Paso 5.2.1.4.1

Factoriza $4$ de $36$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{4 (9)}{16} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

Paso 5.2.1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.1.4.2.1

Factoriza $4$ de $16$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 4} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

Paso 5.2.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 4} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

Paso 5.2.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

Paso 5.2.1.5

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{6}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{{\sqrt{6}}^{2}}{2^{2}} + 2$

Paso 5.2.1.6

Reescribe ${\sqrt{6}}^{2}$ como $6$ .

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Paso 5.2.1.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{6}$ como $6^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + 2$

Paso 5.2.1.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + 2$

Paso 5.2.1.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{6^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 2$

Paso 5.2.1.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.1.6.4.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{6^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 2$

Paso 5.2.1.6.4.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{6}{2^{2}} + 2$

Paso 5.2.1.6.5

Evalúa el exponente.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{6}{2^{2}} + 2$

Paso 5.2.1.7

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 (\frac{6}{4}) + 2$

Paso 5.2.1.8

Cancela el factor común de $6$ y $4$ .

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Paso 5.2.1.8.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{2 (3)}{4} + 2$

Paso 5.2.1.8.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.1.8.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2} + 2$

Paso 5.2.1.8.2.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2} + 2$

Paso 5.2.1.8.2.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 (\frac{3}{2}) + 2$

Paso 5.2.1.9

Multiplica $- 3 (\frac{3}{2})$ .

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Paso 5.2.1.9.1

Combina $- 3$ y $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} + \frac{- 3 \cdot 3}{2} + 2$

Paso 5.2.1.9.2

Multiplica $- 3$ por $3$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} + \frac{- 9}{2} + 2$

Paso 5.2.1.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} + 2$

Paso 5.2.2

Obtén el denominador común

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Paso 5.2.2.1

Multiplica $\frac{9}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - (\frac{9}{2} \cdot \frac{2}{2}) + 2$

Paso 5.2.2.2

Multiplica $\frac{9}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2} + 2$

Paso 5.2.2.3

Escribe $2$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{2}{1}$

Paso 5.2.2.4

Multiplica $\frac{2}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{2}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Paso 5.2.2.5

Multiplica $\frac{2}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{2 \cdot 4}{4}$

Paso 5.2.2.6

Multiplica $2$ por $2$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4}$

Paso 5.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9 - 9 \cdot 2 + 2 \cdot 4}{4}$

Paso 5.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.4.1

Multiplica $- 9$ por $2$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9 - 18 + 2 \cdot 4}{4}$

Paso 5.2.4.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9 - 18 + 8}{4}$

Paso 5.2.5

Simplifica la expresión.

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Paso 5.2.5.1

Resta $18$ de $9$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{- 9 + 8}{4}$

Paso 5.2.5.2

Suma $- 9$ y $8$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{- 1}{4}$

Paso 5.2.5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = - \frac{1}{4}$

Paso 5.2.6

La respuesta final es $- \frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{4}$

Paso 6

Las tangentes horizontales en la función $f (x) = x^{4} - 3 x^{2} + 2$ son $y = 2, y = - \frac{1}{4}, y = - \frac{1}{4}$ .

$y = 2, y = - \frac{1}{4}, y = - \frac{1}{4}$

Paso 7