Cálculo Ejemplos

$y = x + \sin (x)$

Paso 1

Establece $y$ como una función de $x$ .

$f (x) = x + \sin (x)$

Paso 2

Obtén la derivada.

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Paso 2.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + \sin (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 2.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$1 + \cos (x)$

Paso 3

Establece la derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $1 + \cos (x) = 0$ .

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Paso 3.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$\cos (x) = - 1$

Paso 3.2

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (- 1)$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

El valor exacto de $\arccos (- 1)$ es $π$ .

$x = π$

Paso 3.4

El coseno es negativo en el segundo y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 π - π$

Paso 3.5

Resta $π$ de $2 π$ .

$x = π$

Paso 3.6

Obtén el período de $\cos (x)$ .

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Paso 3.6.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 3.6.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 3.6.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 3.6.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 3.7

El período de la función $\cos (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 4

Resuelve la función original $f (x) = x + \sin (x)$ en $x = π$ .

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Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $π$ en la expresión.

$f (π) = (π) + \sin (π)$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$f (π) = π + \sin (0)$

Paso 4.2.1.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$f (π) = π + 0$

Paso 4.2.2

Suma $π$ y $0$ .

$f (π) = π$

Paso 4.2.3

La respuesta final es $π$ .

$π$

Paso 5

Resuelve la función original $f (x) = x + \sin (x)$ en $x = π + 2 π$ .

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $π + 2 π$ en la expresión.

$f (π + 2 π) = (π + 2 π) + \sin (π + 2 π)$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Suma $π$ y $2 π$ .

$f (π + 2 π) = π + 2 π + \sin (3 π)$

Paso 5.2.1.2

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$f (π + 2 π) = π + 2 π + \sin (π)$

Paso 5.2.1.3

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$f (π + 2 π) = π + 2 π + \sin (0)$

Paso 5.2.1.4

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$f (π + 2 π) = π + 2 π + 0$

Paso 5.2.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 5.2.2.1

Suma $π$ y $2 π$ .

$f (π + 2 π) = 3 π + 0$

Paso 5.2.2.2

Suma $3 π$ y $0$ .

$f (π + 2 π) = 3 π$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $3 π$ .

$3 π$

Paso 6

La tangente horizontal en la función $f (x) = x + \sin (x)$ es $y = π, y = 3 π$ .

$y = π, y = 3 π$

Paso 7