Cálculo Ejemplos

$y = x \sqrt{x}$

Paso 1

Establece $y$ como una función de $x$ .

$f (x) = x \sqrt{x}$

Paso 2

Obtén la derivada.

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x \cdot x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2.2

Multiplica $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.2.1

Multiplica $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 2.2.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{1} x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d}{d x} [x^{1 + \frac{1}{2}}]$

Paso 2.2.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}]$

Paso 2.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2 + 1}{2}}]$

Paso 2.2.4

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}$

Paso 2.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Paso 2.5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Paso 2.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}$

Paso 2.7

Simplifica el numerador.

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Paso 2.7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}$

Paso 2.7.2

Resta $2$ de $3$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}$

Paso 2.8

Combina $\frac{3}{2}$ y $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 3

Establece la derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} = 0$ .

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Paso 3.1

Establece el numerador igual a cero.

$3 x^{\frac{1}{2}} = 0$

Paso 3.2

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 3.2.1

Divide cada término en $3 x^{\frac{1}{2}} = 0$ por $3$ y simplifica.

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Paso 3.2.1.1

Divide cada término en $3 x^{\frac{1}{2}} = 0$ por $3$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{3} = \frac{0}{3}$

Paso 3.2.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{3} = \frac{0}{3}$

Paso 3.2.1.2.2

Divide $x^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{0}{3}$

Paso 3.2.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.1.3.1

Divide $0$ por $3$ .

$x^{\frac{1}{2}} = 0$

Paso 3.2.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $2$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Paso 3.2.3

Simplifica el exponente.

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Paso 3.2.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.3.1.1

Simplifica ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.2.3.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.2.3.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 3.2.3.1.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.3.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 3.2.3.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} = 0^{2}$

Paso 3.2.3.1.1.2

Simplifica.

$x = 0^{2}$

Paso 3.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.3.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$x = 0$

Paso 4

Resuelve la función original $f (x) = x \sqrt{x}$ en $x = 0$ .

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Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = (0) \sqrt{0}$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.1

Elimina los paréntesis.

$f (0) = (0) \sqrt{0}$

Paso 4.2.2

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$f (0) = 0 \sqrt{0^{2}}$

Paso 4.2.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (0) = 0 \cdot 0$

Paso 4.2.4

Multiplica $0$ por $0$ .

$f (0) = 0$

Paso 4.2.5

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 5

La tangente horizontal en la función $f (x) = x \sqrt{x}$ es $y = 0$ .

$y = 0$

Paso 6