Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{3} - 4 x^{2}$

Paso 1

Obtén la derivada.

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Paso 1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} - 4 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

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Paso 1.2.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 x^{2} - 4 (2 x)$

Paso 1.2.3

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$3 x^{2} - 8 x$

Paso 2

Establece la derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $3 x^{2} - 8 x = 0$ .

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Paso 2.1

Factoriza $x$ de $3 x^{2} - 8 x$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza $x$ de $3 x^{2}$ .

$x (3 x) - 8 x = 0$

Paso 2.1.2

Factoriza $x$ de $- 8 x$ .

$x (3 x) + x \cdot - 8 = 0$

Paso 2.1.3

Factoriza $x$ de $x (3 x) + x \cdot - 8$ .

$x (3 x - 8) = 0$

Paso 2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$3 x - 8 = 0$

Paso 2.3

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 2.4

Establece $3 x - 8$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $3 x - 8$ igual a $0$ .

$3 x - 8 = 0$

Paso 2.4.2

Resuelve $3 x - 8 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.4.2.1

Suma $8$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x = 8$

Paso 2.4.2.2

Divide cada término en $3 x = 8$ por $3$ y simplifica.

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Paso 2.4.2.2.1

Divide cada término en $3 x = 8$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{8}{3}$

Paso 2.4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.4.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{8}{3}$

Paso 2.4.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{8}{3}$

Paso 2.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $x (3 x - 8) = 0$ verdadera.

$x = 0, \frac{8}{3}$

Paso 3

Resuelve la función original $f (x) = x^{3} - 4 x^{2}$ en $x = 0$ .

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Paso 3.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = {(0)}^{3} - 4 {(0)}^{2}$

Paso 3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 0 - 4 {(0)}^{2}$

Paso 3.2.1.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 0 - 4 \cdot 0$

Paso 3.2.1.3

Multiplica $- 4$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Paso 3.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$f (0) = 0$

Paso 3.2.3

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 4

Resuelve la función original $f (x) = x^{3} - 4 x^{2}$ en $x = \frac{8}{3}$ .

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Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{8}{3}$ en la expresión.

$f (\frac{8}{3}) = {(\frac{8}{3})}^{3} - 4 {(\frac{8}{3})}^{2}$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{8}{3}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{8^{3}}{3^{3}} - 4 {(\frac{8}{3})}^{2}$

Paso 4.2.1.2

Eleva $8$ a la potencia de $3$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{3^{3}} - 4 {(\frac{8}{3})}^{2}$

Paso 4.2.1.3

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - 4 {(\frac{8}{3})}^{2}$

Paso 4.2.1.4

Aplica la regla del producto a $\frac{8}{3}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - 4 \frac{8^{2}}{3^{2}}$

Paso 4.2.1.5

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - 4 \frac{64}{3^{2}}$

Paso 4.2.1.6

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - 4 (\frac{64}{9})$

Paso 4.2.1.7

Multiplica $- 4 (\frac{64}{9})$ .

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Paso 4.2.1.7.1

Combina $- 4$ y $\frac{64}{9}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} + \frac{- 4 \cdot 64}{9}$

Paso 4.2.1.7.2

Multiplica $- 4$ por $64$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} + \frac{- 256}{9}$

Paso 4.2.1.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{256}{9}$

Paso 4.2.2

Para escribir $- \frac{256}{9}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{256}{9} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 4.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $27$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.2.3.1

Multiplica $\frac{256}{9}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{256 \cdot 3}{9 \cdot 3}$

Paso 4.2.3.2

Multiplica $9$ por $3$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{256 \cdot 3}{27}$

Paso 4.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512 - 256 \cdot 3}{27}$

Paso 4.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.5.1

Multiplica $- 256$ por $3$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512 - 768}{27}$

Paso 4.2.5.2

Resta $768$ de $512$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{- 256}{27}$

Paso 4.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{8}{3}) = - \frac{256}{27}$

Paso 4.2.7

La respuesta final es $- \frac{256}{27}$ .

$- \frac{256}{27}$

Paso 5

Las tangentes horizontales en la función $f (x) = x^{3} - 4 x^{2}$ son $y = 0, y = - \frac{256}{27}$ .

$y = 0, y = - \frac{256}{27}$

Paso 6