Cálculo Ejemplos

$4 x^{2} + y^{2} - 8 x + 4 y + 4 = 0$

Paso 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

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Paso 1.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 1.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 4$ y $c = 4 x^{2} - 8 x + 4$ en la fórmula cuadrática y resuelve $y$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (4 x^{2} - 8 x + 4))}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1.1

Reescribe $4 \cdot 1 \cdot (4 x^{2} - 8 x + 4)$ como ${(2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2))}^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - {(2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.3.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 4$ y $b = 2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.3.1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1.3.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 2 \cdot (2 x - 2)) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.3.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 2) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.3.1.3.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 4 x + 2 \cdot - 2) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.3.1.3.4

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 4 x - 4) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.3.1.3.5

Resta $4$ de $4$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 x + 0) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.3.1.3.6

Suma $4 x$ y $0$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.3.1.3.7

Combina exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1.3.7.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - (2 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.3.1.3.7.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 2 (2 x - 2))}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.3.1.4

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.3.1.4.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 4 x - 2 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.3.1.4.3

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 4 x + 4)}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.3.1.5

Suma $4$ y $4$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (- 4 x + 8)}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.3.1.6

Factoriza $4$ de $- 4 x + 8$ .

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Paso 1.3.1.6.1

Factoriza $4$ de $- 4 x$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 (- x) + 8)}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.3.1.6.2

Factoriza $4$ de $8$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 (- x) + 4 (2))}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.3.1.6.3

Factoriza $4$ de $4 (- x) + 4 (2)$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x \cdot (4 (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.3.1.7

Multiplica $4$ por $4$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.3.1.8

Reescribe $16 x (- x + 2)$ como ${(2^{2})}^{2} (x (- x + 2))$ .

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Paso 1.3.1.8.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.3.1.8.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.3.1.8.3

Agrega paréntesis.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (x (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.3.1.9

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{- 4 \pm 2^{2} \sqrt{x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.3.1.10

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x (- x + 2)}}{2}$

Paso 1.3.3

Simplifica $\frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x (- x + 2)}}{2}$ .

$y = - 2 \pm 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

Paso 1.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 1.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.4.1.1

Reescribe $4 \cdot 1 \cdot (4 x^{2} - 8 x + 4)$ como ${(2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2))}^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - {(2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.4.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 4$ y $b = 2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.4.1.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1.3.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 2 \cdot (2 x - 2)) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.4.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 2) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.4.1.3.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 4 x + 2 \cdot - 2) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.4.1.3.4

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 4 x - 4) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.4.1.3.5

Resta $4$ de $4$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 x + 0) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.4.1.3.6

Suma $4 x$ y $0$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.4.1.3.7

Combina exponentes.

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Paso 1.4.1.3.7.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - (2 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.4.1.3.7.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 2 (2 x - 2))}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.4.1.4

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.4.1.4.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 4 x - 2 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.4.1.4.3

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 4 x + 4)}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.4.1.5

Suma $4$ y $4$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (- 4 x + 8)}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.4.1.6

Factoriza $4$ de $- 4 x + 8$ .

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Paso 1.4.1.6.1

Factoriza $4$ de $- 4 x$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 (- x) + 8)}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.4.1.6.2

Factoriza $4$ de $8$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 (- x) + 4 (2))}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.4.1.6.3

Factoriza $4$ de $4 (- x) + 4 (2)$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x \cdot (4 (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.4.1.7

Multiplica $4$ por $4$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.4.1.8

Reescribe $16 x (- x + 2)$ como ${(2^{2})}^{2} (x (- x + 2))$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1.8.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.4.1.8.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.4.1.8.3

Agrega paréntesis.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (x (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.4.1.9

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{- 4 \pm 2^{2} \sqrt{x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.4.1.10

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x (- x + 2)}}{2}$

Paso 1.4.3

Simplifica $\frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x (- x + 2)}}{2}$ .

$y = - 2 \pm 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

Paso 1.4.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$y = - 2 + 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

Paso 1.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 1.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.5.1.1

Reescribe $4 \cdot 1 \cdot (4 x^{2} - 8 x + 4)$ como ${(2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2))}^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - {(2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.5.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 4$ y $b = 2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.5.1.3

Simplifica.

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Paso 1.5.1.3.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 2 \cdot (2 x - 2)) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.5.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 2) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.5.1.3.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 4 x + 2 \cdot - 2) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.5.1.3.4

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 4 x - 4) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.5.1.3.5

Resta $4$ de $4$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 x + 0) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.5.1.3.6

Suma $4 x$ y $0$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.5.1.3.7

Combina exponentes.

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Paso 1.5.1.3.7.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - (2 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.5.1.3.7.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 2 (2 x - 2))}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.5.1.4

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.5.1.4.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 4 x - 2 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.5.1.4.3

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 4 x + 4)}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.5.1.5

Suma $4$ y $4$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (- 4 x + 8)}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.5.1.6

Factoriza $4$ de $- 4 x + 8$ .

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Paso 1.5.1.6.1

Factoriza $4$ de $- 4 x$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 (- x) + 8)}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.5.1.6.2

Factoriza $4$ de $8$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 (- x) + 4 (2))}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.5.1.6.3

Factoriza $4$ de $4 (- x) + 4 (2)$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x \cdot (4 (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.5.1.7

Multiplica $4$ por $4$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.5.1.8

Reescribe $16 x (- x + 2)$ como ${(2^{2})}^{2} (x (- x + 2))$ .

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Paso 1.5.1.8.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.5.1.8.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.5.1.8.3

Agrega paréntesis.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (x (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.5.1.9

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{- 4 \pm 2^{2} \sqrt{x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.5.1.10

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x (- x + 2)}}{2}$

Paso 1.5.3

Simplifica $\frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x (- x + 2)}}{2}$ .

$y = - 2 \pm 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

Paso 1.5.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$y = - 2 - 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

Paso 1.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$y = - 2 + 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

$y = - 2 - 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

$y = - 2 + 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

$y = - 2 - 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

Paso 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = - 2 + 2 \sqrt{x (- x + 2)} \to f (x) = - 2 + 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

$y = - 2 - 2 \sqrt{x (- x + 2)} \to f (x) = - 2 - 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

Paso 3

Because the $y$ variable in the equation $4 x^{2} + y^{2} - 8 x + 4 y + 4 = 0$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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Paso 3.1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (4 x^{2} + y^{2} - 8 x + 4 y + 4) = \frac{d}{d x} (0)$

Paso 3.2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x^{2} + y^{2} - 8 x + 4 y + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 3.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Paso 3.2.2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{2}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 3.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 3.2.2.3

Multiplica $2$ por $4$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 3.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Paso 3.2.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 3.2.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$8 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 3.2.3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$8 x + 2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 3.2.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$8 x + 2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 3.2.3.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$8 x + 2 y y' + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 3.2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

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Paso 3.2.4.1

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 8 x$ con respecto a $x$ es $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 x + 2 y y' - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 3.2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$8 x + 2 y y' - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 3.2.4.3

Multiplica $- 8$ por $1$ .

$8 x + 2 y y' - 8 + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 3.2.5

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 y]$ .

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Paso 3.2.5.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 y$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [y]$ .

$8 x + 2 y y' - 8 + 4 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 3.2.5.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$8 x + 2 y y' - 8 + 4 y' + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 3.2.6

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$8 x + 2 y y' - 8 + 4 y' + 0$

Paso 3.2.7

Simplifica.

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Paso 3.2.7.1

Suma $8 x + 2 y y' - 8 + 4 y'$ y $0$ .

$8 x + 2 y y' - 8 + 4 y'$

Paso 3.2.7.2

Reordena los términos.

$2 y y' + 8 x + 4 y' - 8$

Paso 3.3

Como $0$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $0$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 3.4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$2 y y' + 8 x + 4 y' - 8 = 0$

Paso 3.5

Resuelve $y'$

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Paso 3.5.1

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.5.1.1

Resta $8 x$ de ambos lados de la ecuación.

$2 y y' + 4 y' - 8 = - 8 x$

Paso 3.5.1.2

Suma $8$ a ambos lados de la ecuación.

$2 y y' + 4 y' = - 8 x + 8$

Paso 3.5.2

Factoriza $2 y'$ de $2 y y' + 4 y'$ .

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Paso 3.5.2.1

Factoriza $2 y'$ de $2 y y'$ .

$2 y' y + 4 y' = - 8 x + 8$

Paso 3.5.2.2

Factoriza $2 y'$ de $4 y'$ .

$2 y' y + 2 y' \cdot 2 = - 8 x + 8$

Paso 3.5.2.3

Factoriza $2 y'$ de $2 y' y + 2 y' \cdot 2$ .

$2 y' (y + 2) = - 8 x + 8$

Paso 3.5.3

Divide cada término en $2 y' (y + 2) = - 8 x + 8$ por $2 (y + 2)$ y simplifica.

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Paso 3.5.3.1

Divide cada término en $2 y' (y + 2) = - 8 x + 8$ por $2 (y + 2)$ .

$\frac{2 y' (y + 2)}{2 (y + 2)} = \frac{- 8 x}{2 (y + 2)} + \frac{8}{2 (y + 2)}$

Paso 3.5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y' (y + 2)}{2 (y + 2)} = \frac{- 8 x}{2 (y + 2)} + \frac{8}{2 (y + 2)}$

Paso 3.5.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (y + 2)}{y + 2} = \frac{- 8 x}{2 (y + 2)} + \frac{8}{2 (y + 2)}$

Paso 3.5.3.2.2

Cancela el factor común de $y + 2$ .

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Paso 3.5.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (y + 2)}{y + 2} = \frac{- 8 x}{2 (y + 2)} + \frac{8}{2 (y + 2)}$

Paso 3.5.3.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 8 x}{2 (y + 2)} + \frac{8}{2 (y + 2)}$

Paso 3.5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.5.3.3.1.1

Cancela el factor común de $- 8$ y $2$ .

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Paso 3.5.3.3.1.1.1

Factoriza $2$ de $- 8 x$ .

$y' = \frac{2 (- 4 x)}{2 (y + 2)} + \frac{8}{2 (y + 2)}$

Paso 3.5.3.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.5.3.3.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$y' = \frac{2 (- 4 x)}{2 (y + 2)} + \frac{8}{2 (y + 2)}$

Paso 3.5.3.3.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{- 4 x}{y + 2} + \frac{8}{2 (y + 2)}$

Paso 3.5.3.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{(4) x}{y + 2} + \frac{8}{2 (y + 2)}$

Paso 3.5.3.3.1.3

Cancela el factor común de $8$ y $2$ .

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Paso 3.5.3.3.1.3.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$y' = - \frac{4 x}{y + 2} + \frac{2 \cdot 4}{2 (y + 2)}$

Paso 3.5.3.3.1.3.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.3.3.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$y' = - \frac{4 x}{y + 2} + \frac{2 \cdot 4}{2 (y + 2)}$

Paso 3.5.3.3.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$y' = - \frac{4 x}{y + 2} + \frac{4}{y + 2}$

Paso 3.5.3.3.2

Simplifica los términos.

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Paso 3.5.3.3.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{- 4 x + 4}{y + 2}$

Paso 3.5.3.3.2.2

Factoriza $4$ de $- 4 x + 4$ .

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Paso 3.5.3.3.2.2.1

Factoriza $4$ de $- 4 x$ .

$y' = \frac{4 (- x) + 4}{y + 2}$

Paso 3.5.3.3.2.2.2

Factoriza $4$ de $4$ .

$y' = \frac{4 (- x) + 4 (1)}{y + 2}$

Paso 3.5.3.3.2.2.3

Factoriza $4$ de $4 (- x) + 4 (1)$ .

$y' = \frac{4 (- x + 1)}{y + 2}$

Paso 3.5.3.3.2.3

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$y' = \frac{4 (- (x) + 1)}{y + 2}$

Paso 3.5.3.3.2.4

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{4 (- (x) - 1 (- 1))}{y + 2}$

Paso 3.5.3.3.2.5

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{4 (- (x - 1))}{y + 2}$

Paso 3.5.3.3.2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 3.5.3.3.2.6.1

Reescribe $- (x - 1)$ como $- 1 (x - 1)$ .

$y' = \frac{4 (- 1 (x - 1))}{y + 2}$

Paso 3.5.3.3.2.6.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{4 (x - 1)}{y + 2}$

Paso 3.6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 (x - 1)}{y + 2}$

Paso 4

Establece la derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $- \frac{4 (x - 1)}{y + 2} = 0$ .

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Paso 4.1

Establece el numerador igual a cero.

$4 (x - 1) = 0$

Paso 4.2

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 4.2.1

Divide cada término en $4 (x - 1) = 0$ por $4$ y simplifica.

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Paso 4.2.1.1

Divide cada término en $4 (x - 1) = 0$ por $4$ .

$\frac{4 (x - 1)}{4} = \frac{0}{4}$

Paso 4.2.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 4.2.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 (x - 1)}{4} = \frac{0}{4}$

Paso 4.2.1.2.1.2

Divide $x - 1$ por $1$ .

$x - 1 = \frac{0}{4}$

Paso 4.2.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.1.3.1

Divide $0$ por $4$ .

$x - 1 = 0$

Paso 4.2.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 5

Solve the function $f (x) = - 2 + 2 \sqrt{x (- x + 2)}$ at $x = 1$ .

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = - 2 + 2 \sqrt{(1) (- (1) + 2)}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Multiplica $- (1) + 2$ por $1$ .

$f (1) = - 2 + 2 \sqrt{- (1) + 2}$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (1) = - 2 + 2 \sqrt{- 1 + 2}$

Paso 5.2.1.3

Suma $- 1$ y $2$ .

$f (1) = - 2 + 2 \sqrt{1}$

Paso 5.2.1.4

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$f (1) = - 2 + 2 \cdot 1$

Paso 5.2.1.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$f (1) = - 2 + 2$

Paso 5.2.2

Suma $- 2$ y $2$ .

$f (1) = 0$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 6

Solve the function $f (x) = - 2 - 2 \sqrt{x (- x + 2)}$ at $x = 1$ .

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = - 2 - 2 \sqrt{(1) (- (1) + 2)}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Multiplica $- (1) + 2$ por $1$ .

$f (1) = - 2 - 2 \sqrt{- (1) + 2}$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (1) = - 2 - 2 \sqrt{- 1 + 2}$

Paso 6.2.1.3

Suma $- 1$ y $2$ .

$f (1) = - 2 - 2 \sqrt{1}$

Paso 6.2.1.4

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$f (1) = - 2 - 2 \cdot 1$

Paso 6.2.1.5

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$f (1) = - 2 - 2$

Paso 6.2.2

Resta $2$ de $- 2$ .

$f (1) = - 4$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $- 4$ .

$- 4$

Paso 7

The horizontal tangent lines are $y = 0, y = - 4$

$y = 0, y = - 4$

Paso 8