Cálculo Ejemplos

$y^{3} + x y - y = 8 x^{4}$

Paso 1

Set each solution of $y^{3} + x y - y$ as a function of $x$ .

$y = 8 x^{4} \to f (x) = 8 x^{4}$

Paso 2

Because the $y$ variable in the equation $y^{3} + x y - y = 8 x^{4}$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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Paso 2.1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y^{3} + x y - y) = \frac{d}{d x} (8 x^{4})$

Paso 2.2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $y^{3} + x y - y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 2.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

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Paso 2.2.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.2.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 2.2.2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 2.2.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 2.2.2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 2.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Paso 2.2.3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$3 y^{2} y' + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 2.2.3.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 y^{2} y' + x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 2.2.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 y^{2} y' + x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 2.2.3.4

Multiplica $y$ por $1$ .

$3 y^{2} y' + x y' + y + \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 2.2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- y]$ .

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Paso 2.2.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- y$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$3 y^{2} y' + x y' + y - \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.2.4.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 y^{2} y' + x y' + y - y'$

Paso 2.3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.1

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 x^{4}$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$8 (4 x^{3})$

Paso 2.3.3

Multiplica $4$ por $8$ .

$32 x^{3}$

Paso 2.4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$3 y^{2} y' + x y' + y - y' = 32 x^{3}$

Paso 2.5

Resuelve $y'$

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Paso 2.5.1

Resta $y$ de ambos lados de la ecuación.

$3 y^{2} y' + x y' - y' = 32 x^{3} - y$

Paso 2.5.2

Factoriza $y'$ de $3 y^{2} y' + x y' - y'$ .

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Paso 2.5.2.1

Factoriza $y'$ de $3 y^{2} y'$ .

$y' (3 y^{2}) + x (y') - y' = 32 x^{3} - y$

Paso 2.5.2.2

Factoriza $y'$ de $x y'$ .

$y' (3 y^{2}) + y' (x) - y' = 32 x^{3} - y$

Paso 2.5.2.3

Factoriza $y'$ de $- y'$ .

$y' (3 y^{2}) + y' (x) + y' \cdot - 1 = 32 x^{3} - y$

Paso 2.5.2.4

Factoriza $y'$ de $y' (3 y^{2}) + y' (x)$ .

$y' (3 y^{2} + x) + y' \cdot - 1 = 32 x^{3} - y$

Paso 2.5.2.5

Factoriza $y'$ de $y' (3 y^{2} + x) + y' \cdot - 1$ .

$y' (3 y^{2} + x - 1) = 32 x^{3} - y$

Paso 2.5.3

Divide cada término en $y' (3 y^{2} + x - 1) = 32 x^{3} - y$ por $3 y^{2} + x - 1$ y simplifica.

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Paso 2.5.3.1

Divide cada término en $y' (3 y^{2} + x - 1) = 32 x^{3} - y$ por $3 y^{2} + x - 1$ .

$\frac{y' (3 y^{2} + x - 1)}{3 y^{2} + x - 1} = \frac{32 x^{3}}{3 y^{2} + x - 1} + \frac{- y}{3 y^{2} + x - 1}$

Paso 2.5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.5.3.2.1

Cancela el factor común de $3 y^{2} + x - 1$ .

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Paso 2.5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (3 y^{2} + x - 1)}{3 y^{2} + x - 1} = \frac{32 x^{3}}{3 y^{2} + x - 1} + \frac{- y}{3 y^{2} + x - 1}$

Paso 2.5.3.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{32 x^{3}}{3 y^{2} + x - 1} + \frac{- y}{3 y^{2} + x - 1}$

Paso 2.5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.5.3.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{32 x^{3} - y}{3 y^{2} + x - 1}$

Paso 2.6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{32 x^{3} - y}{3 y^{2} + x - 1}$

Paso 3

Establece la derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $\frac{32 x^{3} - y}{3 y^{2} + x - 1} = 0$ .

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Paso 3.1

Establece el numerador igual a cero.

$32 x^{3} - y = 0$

Paso 3.2

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 3.2.1

Suma $y$ a ambos lados de la ecuación.

$32 x^{3} = y$

Paso 3.2.2

Divide cada término en $32 x^{3} = y$ por $32$ y simplifica.

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Paso 3.2.2.1

Divide cada término en $32 x^{3} = y$ por $32$ .

$\frac{32 x^{3}}{32} = \frac{y}{32}$

Paso 3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.2.1

Cancela el factor común de $32$ .

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Paso 3.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{32 x^{3}}{32} = \frac{y}{32}$

Paso 3.2.2.2.1.2

Divide $x^{3}$ por $1$ .

$x^{3} = \frac{y}{32}$

Paso 3.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{\frac{y}{32}}$

Paso 3.2.4

Simplifica $\sqrt[3]{\frac{y}{32}}$ .

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Paso 3.2.4.1

Reescribe $\frac{y}{32}$ como ${(\frac{1}{2})}^{3} \frac{y}{4}$ .

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Paso 3.2.4.1.1

Factoriza la potencia perfecta $1^{3}$ de $y$ .

$x = \sqrt[3]{\frac{1^{3} y}{32}}$

Paso 3.2.4.1.2

Factoriza la potencia perfecta $2^{3}$ de $32$ .

$x = \sqrt[3]{\frac{1^{3} y}{2^{3} \cdot 4}}$

Paso 3.2.4.1.3

Reorganiza la fracción $\frac{1^{3} y}{2^{3} \cdot 4}$ .

$x = \sqrt[3]{{(\frac{1}{2})}^{3} \frac{y}{4}}$

Paso 3.2.4.2

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{1}{2} \sqrt[3]{\frac{y}{4}}$

Paso 3.2.4.3

Reescribe $\sqrt[3]{\frac{y}{4}}$ como $\frac{\sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{4}}$ .

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{4}}$

Paso 3.2.4.4

Multiplica $\frac{\sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{4}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$x = \frac{1}{2} (\frac{\sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}})$

Paso 3.2.4.5

Combina fracciones.

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Paso 3.2.4.5.1

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 3.2.4.5.1.1

Multiplica $\frac{\sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{4}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{y} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Paso 3.2.4.5.1.2

Eleva $\sqrt[3]{4}$ a la potencia de $1$ .

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{y} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Paso 3.2.4.5.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{y} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1 + 2}}$

Paso 3.2.4.5.1.4

Suma $1$ y $2$ .

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{y} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{3}}$

Paso 3.2.4.5.1.5

Reescribe ${\sqrt[3]{4}}^{3}$ como $4$ .

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Paso 3.2.4.5.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{4}$ como $4^{\frac{1}{3}}$ .

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{y} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{(4^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Paso 3.2.4.5.1.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{y} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Paso 3.2.4.5.1.5.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{y} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Paso 3.2.4.5.1.5.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.4.5.1.5.4.1

Cancela el factor común.

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{y} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Paso 3.2.4.5.1.5.4.2

Reescribe la expresión.

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{y} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{1}}$

Paso 3.2.4.5.1.5.5

Evalúa el exponente.

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{y} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4}$

Paso 3.2.4.5.2

Combinar.

$x = \frac{1 (\sqrt[3]{y} {\sqrt[3]{4}}^{2})}{2 \cdot 4}$

Paso 3.2.4.5.3

Multiplica.

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Paso 3.2.4.5.3.1

Multiplica $\sqrt[3]{y}$ por $1$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{y} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{2 \cdot 4}$

Paso 3.2.4.5.3.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{y} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{8}$

Paso 3.2.4.6

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.4.6.1

Reescribe ${\sqrt[3]{4}}^{2}$ como $\sqrt[3]{4^{2}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{y} \sqrt[3]{4^{2}}}{8}$

Paso 3.2.4.6.2

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{y} \sqrt[3]{16}}{8}$

Paso 3.2.4.6.3

Reescribe $16$ como $2^{3} \cdot 2$ .

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Paso 3.2.4.6.3.1

Factoriza $8$ de $16$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{y} \sqrt[3]{8 (2)}}{8}$

Paso 3.2.4.6.3.2

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{y} \sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{8}$

Paso 3.2.4.6.4

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{\sqrt[3]{y} \cdot 2 \sqrt[3]{2}}{8}$

Paso 3.2.4.6.5

Combina con la regla del producto para radicales.

$x = \frac{2 \sqrt[3]{y \cdot 2}}{8}$

Paso 3.2.4.7

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 3.2.4.7.1

Cancela el factor común de $2$ y $8$ .

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Paso 3.2.4.7.1.1

Factoriza $2$ de $2 \sqrt[3]{y \cdot 2}$ .

$x = \frac{2 (\sqrt[3]{y \cdot 2})}{8}$

Paso 3.2.4.7.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.2.4.7.1.2.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$x = \frac{2 \sqrt[3]{y \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

Paso 3.2.4.7.1.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{2 \sqrt[3]{y \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

Paso 3.2.4.7.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{\sqrt[3]{y \cdot 2}}{4}$

Paso 3.2.4.7.2

Reordena los factores en $\frac{\sqrt[3]{y \cdot 2}}{4}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}$

Paso 4

Solve the function $f (x) = 8 x^{4}$ at $x = \frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}$ .

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Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}$ en la expresión.

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 {(\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4})}^{4}$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.1

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 (\frac{{\sqrt[3]{2 y}}^{4}}{4^{4}})$

Paso 4.2.2

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.2.1

Reescribe ${\sqrt[3]{2 y}}^{4}$ como $\sqrt[3]{{(2 y)}^{4}}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 (\frac{\sqrt[3]{{(2 y)}^{4}}}{4^{4}})$

Paso 4.2.2.2

Aplica la regla del producto a $2 y$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 (\frac{\sqrt[3]{2^{4} y^{4}}}{4^{4}})$

Paso 4.2.2.3

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 (\frac{\sqrt[3]{16 y^{4}}}{4^{4}})$

Paso 4.2.2.4

Reescribe $16 y^{4}$ como ${(2 y)}^{3} \cdot (2 y)$ .

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Paso 4.2.2.4.1

Factoriza $8$ de $16$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 (\frac{\sqrt[3]{8 (2) y^{4}}}{4^{4}})$

Paso 4.2.2.4.2

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 (\frac{\sqrt[3]{2^{3} \cdot (2 y^{4})}}{4^{4}})$

Paso 4.2.2.4.3

Factoriza $y^{3}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 (\frac{\sqrt[3]{2^{3} \cdot (2 (y^{3} y))}}{4^{4}})$

Paso 4.2.2.4.4

Mueve $2$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 (\frac{\sqrt[3]{2^{3} y^{3} \cdot (2 y)}}{4^{4}})$

Paso 4.2.2.4.5

Reescribe $2^{3} y^{3}$ como ${(2 y)}^{3}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 (\frac{\sqrt[3]{{(2 y)}^{3} \cdot (2 y)}}{4^{4}})$

Paso 4.2.2.4.6

Agrega paréntesis.

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 (\frac{\sqrt[3]{{(2 y)}^{3} \cdot (2 y)}}{4^{4}})$

Paso 4.2.2.5

Retira los términos de abajo del radical.

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 (\frac{2 y \sqrt[3]{2 y}}{4^{4}})$

Paso 4.2.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 4.2.3.1

Eleva $4$ a la potencia de $4$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 (\frac{2 y \sqrt[3]{2 y}}{256})$

Paso 4.2.3.2

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 4.2.3.2.1

Factoriza $8$ de $256$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 (\frac{2 y \sqrt[3]{2 y}}{8 (32)})$

Paso 4.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 (\frac{2 y \sqrt[3]{2 y}}{8 \cdot 32})$

Paso 4.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = \frac{2 y \sqrt[3]{2 y}}{32}$

Paso 4.2.3.3

Cancela el factor común de $2$ y $32$ .

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Paso 4.2.3.3.1

Factoriza $2$ de $2 y \sqrt[3]{2 y}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = \frac{2 (y \sqrt[3]{2 y})}{32}$

Paso 4.2.3.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.3.3.2.1

Factoriza $2$ de $32$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = \frac{2 (y \sqrt[3]{2 y})}{2 \cdot 16}$

Paso 4.2.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = \frac{2 (y \sqrt[3]{2 y})}{2 \cdot 16}$

Paso 4.2.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = \frac{y \sqrt[3]{2 y}}{16}$

Paso 4.2.4

La respuesta final es $\frac{y \sqrt[3]{2 y}}{16}$ .

$\frac{y \sqrt[3]{2 y}}{16}$

Paso 5

The horizontal tangent lines are $y = \frac{y \sqrt[3]{2 y}}{16}$

$y = \frac{y \sqrt[3]{2 y}}{16}$

Paso 6