Cálculo Ejemplos

$x^{3} + y^{3} = 6 x y$

Paso 1

Set each solution of $x^{3} + y^{3}$ as a function of $x$ .

$y = 6 x y \to f (x) = 6 x y$

Paso 2

Because the $y$ variable in the equation $x^{3} + y^{3} = 6 x y$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x^{3} + y^{3}) = \frac{d}{d x} (6 x y)$

Paso 2.2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} + y^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Paso 2.2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Paso 2.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.2.2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.2.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.2.2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y'$

Paso 2.3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x y$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$6 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.3.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$6 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$6 (x y' + y \cdot 1)$

Paso 2.3.5

Multiplica $y$ por $1$ .

$6 (x y' + y)$

Paso 2.3.6

Aplica la propiedad distributiva.

$6 x y' + 6 y$

Paso 2.4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' = 6 x y' + 6 y$

Paso 2.5

Resuelve $y'$

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.1

Resta $6 x y'$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 6 x y' = 6 y$

Paso 2.5.2

Resta $3 x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$3 y^{2} y' - 6 x y' = 6 y - 3 x^{2}$

Paso 2.5.3

Factoriza $3 y'$ de $3 y^{2} y' - 6 x y'$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.3.1

Factoriza $3 y'$ de $3 y^{2} y'$ .

$3 y' y^{2} - 6 x y' = 6 y - 3 x^{2}$

Paso 2.5.3.2

Factoriza $3 y'$ de $- 6 x y'$ .

$3 y' y^{2} + 3 y' (- 2 x) = 6 y - 3 x^{2}$

Paso 2.5.3.3

Factoriza $3 y'$ de $3 y' y^{2} + 3 y' (- 2 x)$ .

$3 y' (y^{2} - 2 x) = 6 y - 3 x^{2}$

Paso 2.5.4

Divide cada término en $3 y' (y^{2} - 2 x) = 6 y - 3 x^{2}$ por $3 (y^{2} - 2 x)$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.4.1

Divide cada término en $3 y' (y^{2} - 2 x) = 6 y - 3 x^{2}$ por $3 (y^{2} - 2 x)$ .

$\frac{3 y' (y^{2} - 2 x)}{3 (y^{2} - 2 x)} = \frac{6 y}{3 (y^{2} - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 2 x)}$

Paso 2.5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.4.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 y' (y^{2} - 2 x)}{3 (y^{2} - 2 x)} = \frac{6 y}{3 (y^{2} - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 2 x)}$

Paso 2.5.4.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (y^{2} - 2 x)}{y^{2} - 2 x} = \frac{6 y}{3 (y^{2} - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 2 x)}$

Paso 2.5.4.2.2

Cancela el factor común de $y^{2} - 2 x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.4.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (y^{2} - 2 x)}{y^{2} - 2 x} = \frac{6 y}{3 (y^{2} - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 2 x)}$

Paso 2.5.4.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{6 y}{3 (y^{2} - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 2 x)}$

Paso 2.5.4.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.4.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.4.3.1.1

Cancela el factor común de $6$ y $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.4.3.1.1.1

Factoriza $3$ de $6 y$ .

$y' = \frac{3 (2 y)}{3 (y^{2} - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 2 x)}$

Paso 2.5.4.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.4.3.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$y' = \frac{3 (2 y)}{3 (y^{2} - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 2 x)}$

Paso 2.5.4.3.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{2 y}{y^{2} - 2 x} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 2 x)}$

Paso 2.5.4.3.1.2

Cancela el factor común de $- 3$ y $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.4.3.1.2.1

Factoriza $3$ de $- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{2 y}{y^{2} - 2 x} + \frac{3 (- x^{2})}{3 (y^{2} - 2 x)}$

Paso 2.5.4.3.1.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.4.3.1.2.2.1

Cancela el factor común.

$y' = \frac{2 y}{y^{2} - 2 x} + \frac{3 (- x^{2})}{3 (y^{2} - 2 x)}$

Paso 2.5.4.3.1.2.2.2

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{2 y}{y^{2} - 2 x} + \frac{- x^{2}}{y^{2} - 2 x}$

Paso 2.5.4.3.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = \frac{2 y}{y^{2} - 2 x} - \frac{x^{2}}{y^{2} - 2 x}$

Paso 2.5.4.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{2 y - x^{2}}{y^{2} - 2 x}$

Paso 2.6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y - x^{2}}{y^{2} - 2 x}$

Paso 3

Establece la derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $\frac{2 y - x^{2}}{y^{2} - 2 x} = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Establece el numerador igual a cero.

$2 y - x^{2} = 0$

Paso 3.2

Resuelve la ecuación en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Resta $2 y$ de ambos lados de la ecuación.

$- x^{2} = - 2 y$

Paso 3.2.2

Divide cada término en $- x^{2} = - 2 y$ por $- 1$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.2.1

Divide cada término en $- x^{2} = - 2 y$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 2 y}{- 1}$

Paso 3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 2 y}{- 1}$

Paso 3.2.2.2.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 2 y}{- 1}$

Paso 3.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.2.3.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{- 2 y}{- 1}$ .

$x^{2} = - 1 \cdot (- 2 y)$

Paso 3.2.2.3.2

Reescribe $- 1 \cdot (- 2 y)$ como $- (- 2 y)$ .

$x^{2} = - (- 2 y)$

Paso 3.2.2.3.3

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$x^{2} = 2 y$

Paso 3.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2 y}$

Paso 3.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \sqrt{2 y}$

Paso 3.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \sqrt{2 y}$

Paso 3.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \sqrt{2 y}$

$x = - \sqrt{2 y}$

$x = \sqrt{2 y}$

$x = - \sqrt{2 y}$

$x = \sqrt{2 y}$

$x = - \sqrt{2 y}$

$x = \sqrt{2 y}$

$x = - \sqrt{2 y}$

Paso 4

Solve the function $f (x) = 6 x y$ at $x = \sqrt{2 y}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $\sqrt{2 y}$ en la expresión.

$f (\sqrt{2 y}) = 6 (\sqrt{2 y}) \cdot y$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Multiplica $6 \sqrt{2 y}$ por $y$ .

$f (\sqrt{2 y}) = 6 \sqrt{2 y} y$

Paso 4.2.2

La respuesta final es $6 \sqrt{2 y} y$ .

$6 \sqrt{2 y} y$

Paso 5

Solve the function $f (x) = 6 x y$ at $x = - \sqrt{2 y}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \sqrt{2 y}$ en la expresión.

$f (- \sqrt{2 y}) = 6 (- \sqrt{2 y}) \cdot y$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$f (- \sqrt{2 y}) = - 6 \sqrt{2 y} y$

Paso 5.2.2

La respuesta final es $- 6 \sqrt{2 y} y$ .

$- 6 \sqrt{2 y} y$

Paso 6

The horizontal tangent lines are $y = 6 \sqrt{2 y} y, y = - 6 \sqrt{2 y} y$

$y = 6 \sqrt{2 y} y, y = - 6 \sqrt{2 y} y$

Paso 7