Cálculo Ejemplos

$x e^{- 2 x}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = e^{- 2 x}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - 2 x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- 2 x$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x]) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x]) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- 2 x$ .

$x (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x (e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1)) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3.3

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.3.1

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$x (e^{- 2 x} \cdot - 2) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3.3.2

Mueve $- 2$ a la izquierda de $e^{- 2 x}$ .

$x (- 2 \cdot e^{- 2 x}) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x (- 2 e^{- 2 x}) + e^{- 2 x} \cdot 1$

Paso 1.1.3.5

Multiplica $e^{- 2 x}$ por $1$ .

$x (- 2 e^{- 2 x}) + e^{- 2 x}$

Paso 1.1.4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.4.1

Reordena los términos.

$- 2 e^{- 2 x} x + e^{- 2 x}$

Paso 1.1.4.2

Reordena los factores en $- 2 e^{- 2 x} x + e^{- 2 x}$ .

$f' (x) = - 2 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- 2 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x}$ .

$- 2 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- 2 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x} = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- 2 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x} = 0$

Paso 2.2

Factoriza $e^{- 2 x}$ de $- 2 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Factoriza $e^{- 2 x}$ de $- 2 x e^{- 2 x}$ .

$e^{- 2 x} (- 2 x) + e^{- 2 x} = 0$

Paso 2.2.2

Multiplica por $1$ .

$e^{- 2 x} (- 2 x) + e^{- 2 x} \cdot 1 = 0$

Paso 2.2.3

Factoriza $e^{- 2 x}$ de $e^{- 2 x} (- 2 x) + e^{- 2 x} \cdot 1$ .

$e^{- 2 x} (- 2 x + 1) = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$e^{- 2 x} = 0$

$- 2 x + 1 = 0$

Paso 2.4

Establece $e^{- 2 x}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.1

Establece $e^{- 2 x}$ igual a $0$ .

$e^{- 2 x} = 0$

Paso 2.4.2

Resuelve $e^{- 2 x} = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.2.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{- 2 x}) = \ln (0)$

Paso 2.4.2.2

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (0)$ es indefinida.

Indefinida

Paso 2.4.2.3

No hay soluciones para $e^{- 2 x} = 0$

No hay solución

Paso 2.5

Establece $- 2 x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.1

Establece $- 2 x + 1$ igual a $0$ .

$- 2 x + 1 = 0$

Paso 2.5.2

Resuelve $- 2 x + 1 = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 x = - 1$

Paso 2.5.2.2

Divide cada término en $- 2 x = - 1$ por $- 2$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.2.2.1

Divide cada término en $- 2 x = - 1$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Paso 2.5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Paso 2.5.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 2}$

Paso 2.5.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.2.2.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x = \frac{1}{2}$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $e^{- 2 x} (- 2 x + 1) = 0$ verdadera.

$x = \frac{1}{2}$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 4

Evalúa $x e^{- 2 x}$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Evalúa en $x = \frac{1}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1

Sustituye $\frac{1}{2}$ por $x$ .

$(\frac{1}{2}) \cdot e^{- 2 (\frac{1}{2})}$

Paso 4.1.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.1.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\frac{1}{2} \cdot e^{2 (- 1) \frac{1}{2}}$

Paso 4.1.2.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} \cdot e^{2 \cdot - 1 \frac{1}{2}}$

Paso 4.1.2.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} \cdot e^{- 1}$

Paso 4.1.2.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{e}$

Paso 4.1.2.3

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{e}$ .

$\frac{1}{2 e}$

Paso 4.2

Enumera todos los puntos.

$(\frac{1}{2}, \frac{1}{2 e})$

Paso 5