Cálculo Ejemplos

$f (x) = 4 + \frac{1}{3} x - \frac{1}{2} x^{2}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 + \frac{1}{3} x - \frac{1}{2} x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Paso 1.1.1.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{3} x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 + \frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Paso 1.1.2.3

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$0 + \frac{1}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $- \frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{1}{2} x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 + \frac{1}{3} - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 + \frac{1}{3} - \frac{1}{2} (2 x)$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$0 + \frac{1}{3} - 2 (\frac{1}{2}) x$

Paso 1.1.3.4

Combina $- 2$ y $\frac{1}{2}$ .

$0 + \frac{1}{3} + \frac{- 2}{2} x$

Paso 1.1.3.5

Combina $\frac{- 2}{2}$ y $x$ .

$0 + \frac{1}{3} + \frac{- 2 x}{2}$

Paso 1.1.3.6

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 1.1.3.6.1

Factoriza $2$ de $- 2 x$ .

$0 + \frac{1}{3} + \frac{2 (- x)}{2}$

Paso 1.1.3.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.3.6.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$0 + \frac{1}{3} + \frac{2 (- x)}{2 (1)}$

Paso 1.1.3.6.2.2

Cancela el factor común.

$0 + \frac{1}{3} + \frac{2 (- x)}{2 \cdot 1}$

Paso 1.1.3.6.2.3

Reescribe la expresión.

$0 + \frac{1}{3} + \frac{- x}{1}$

Paso 1.1.3.6.2.4

Divide $- x$ por $1$ .

$0 + \frac{1}{3} - x$

Paso 1.1.4

Simplifica.

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Paso 1.1.4.1

Suma $0$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} - x$

Paso 1.1.4.2

Reordena los términos.

$f' (x) = - x + \frac{1}{3}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- x + \frac{1}{3}$ .

$- x + \frac{1}{3}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- x + \frac{1}{3} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- x + \frac{1}{3} = 0$

Paso 2.2

Resta $\frac{1}{3}$ de ambos lados de la ecuación.

$- x = - \frac{1}{3}$

Paso 2.3

Divide cada término en $- x = - \frac{1}{3}$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 2.3.1

Divide cada término en $- x = - \frac{1}{3}$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- \frac{1}{3}}{- 1}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- \frac{1}{3}}{- 1}$

Paso 2.3.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- \frac{1}{3}}{- 1}$

Paso 2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x = \frac{\frac{1}{3}}{1}$

Paso 2.3.3.2

Divide $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 4

Evalúa $4 + \frac{1}{3} x - \frac{1}{2} x^{2}$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = \frac{1}{3}$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $\frac{1}{3}$ por $x$ .

$4 + \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{3}) - \frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{2}$

Paso 4.1.2

Simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.1.1

Multiplica $\frac{1}{3} (\frac{1}{3})$ .

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Paso 4.1.2.1.1.1

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{3}$ .

$4 + \frac{1}{3 \cdot 3} - \frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{2}$

Paso 4.1.2.1.1.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$4 + \frac{1}{9} - \frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{2}$

Paso 4.1.2.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{3}$ .

$4 + \frac{1}{9} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1^{2}}{3^{2}}$

Paso 4.1.2.1.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$4 + \frac{1}{9} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3^{2}}$

Paso 4.1.2.1.4

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$4 + \frac{1}{9} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{9}$

Paso 4.1.2.1.5

Multiplica $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{9}$ .

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Paso 4.1.2.1.5.1

Multiplica $\frac{1}{9}$ por $\frac{1}{2}$ .

$4 + \frac{1}{9} - \frac{1}{9 \cdot 2}$

Paso 4.1.2.1.5.2

Multiplica $9$ por $2$ .

$4 + \frac{1}{9} - \frac{1}{18}$

Paso 4.1.2.2

Obtén el denominador común

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Paso 4.1.2.2.1

Escribe $4$ como una fracción con el denominador $1$ .

$\frac{4}{1} + \frac{1}{9} - \frac{1}{18}$

Paso 4.1.2.2.2

Multiplica $\frac{4}{1}$ por $\frac{18}{18}$ .

$\frac{4}{1} \cdot \frac{18}{18} + \frac{1}{9} - \frac{1}{18}$

Paso 4.1.2.2.3

Multiplica $\frac{4}{1}$ por $\frac{18}{18}$ .

$\frac{4 \cdot 18}{18} + \frac{1}{9} - \frac{1}{18}$

Paso 4.1.2.2.4

Multiplica $\frac{1}{9}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4 \cdot 18}{18} + \frac{1}{9} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{18}$

Paso 4.1.2.2.5

Multiplica $\frac{1}{9}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4 \cdot 18}{18} + \frac{2}{9 \cdot 2} - \frac{1}{18}$

Paso 4.1.2.2.6

Reordena los factores de $9 \cdot 2$ .

$\frac{4 \cdot 18}{18} + \frac{2}{2 \cdot 9} - \frac{1}{18}$

Paso 4.1.2.2.7

Multiplica $2$ por $9$ .

$\frac{4 \cdot 18}{18} + \frac{2}{18} - \frac{1}{18}$

Paso 4.1.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{4 \cdot 18 + 2 - 1}{18}$

Paso 4.1.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 4.1.2.4.1

Multiplica $4$ por $18$ .

$\frac{72 + 2 - 1}{18}$

Paso 4.1.2.4.2

Suma $72$ y $2$ .

$\frac{74 - 1}{18}$

Paso 4.1.2.4.3

Resta $1$ de $74$ .

$\frac{73}{18}$

Paso 4.2

Enumera todos los puntos.

$(\frac{1}{3}, \frac{73}{18})$

Paso 5