Cálculo Ejemplos

$f (x) = 3 x {(16 - x)}^{3}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x {(16 - x)}^{3}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x {(16 - x)}^{3}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x {(16 - x)}^{3})$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = {(16 - x)}^{3}$ .

$f' (x) = 3 (x \frac{d}{d x} ({(16 - x)}^{3}) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = 16 - x$ .

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Paso 1.1.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $16 - x$ .

$f' (x) = 3 (x (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (16 - x)) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f' (x) = 3 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} (16 - x)) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 1.1.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $16 - x$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(16 - x)}^{2} \frac{d}{d x} (16 - x)) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 1.1.4

Diferencia.

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Paso 1.1.4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $16 - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(16 - x)}^{2} (\frac{d}{d x} (16) + \frac{d}{d x} (- x))) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 1.1.4.2

Como $16$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $16$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(16 - x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} (- x))) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 1.1.4.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(16 - x)}^{2} \frac{d}{d x} (- x)) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 1.1.4.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(16 - x)}^{2} (- \frac{d}{d x} x)) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 1.1.4.5

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$f' (x) = 3 (x (- 3 {(16 - x)}^{2} \frac{d}{d x} x) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 1.1.4.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = 3 (x (- 3 {(16 - x)}^{2} \cdot 1) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 1.1.4.7

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$f' (x) = 3 (x (- 3 {(16 - x)}^{2}) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 1.1.4.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = 3 (x (- 3 {(16 - x)}^{2}) + {(16 - x)}^{3} \cdot 1)$

Paso 1.1.4.9

Multiplica ${(16 - x)}^{3}$ por $1$ .

$f' (x) = 3 (x (- 3 {(16 - x)}^{2}) + {(16 - x)}^{3})$

Paso 1.1.5

Simplifica.

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Paso 1.1.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = 3 (x (- 3 {(16 - x)}^{2})) + 3 {(16 - x)}^{3}$

Paso 1.1.5.2

Multiplica $- 3$ por $3$ .

$f' (x) = - 9 (x ({(16 - x)}^{2})) + 3 {(16 - x)}^{3}$

Paso 1.1.5.3

Factoriza $3 {(16 - x)}^{2}$ de $- 9 x {(16 - x)}^{2} + 3 {(16 - x)}^{3}$ .

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Paso 1.1.5.3.1

Factoriza $3 {(16 - x)}^{2}$ de $- 9 x {(16 - x)}^{2}$ .

$f' (x) = 3 {(16 - x)}^{2} (- 3 x) + 3 {(16 - x)}^{3}$

Paso 1.1.5.3.2

Factoriza $3 {(16 - x)}^{2}$ de $3 {(16 - x)}^{3}$ .

$f' (x) = 3 {(16 - x)}^{2} (- 3 x) + 3 {(16 - x)}^{2} (16 - x)$

Paso 1.1.5.3.3

Factoriza $3 {(16 - x)}^{2}$ de $3 {(16 - x)}^{2} (- 3 x) + 3 {(16 - x)}^{2} (16 - x)$ .

$f' (x) = 3 {(16 - x)}^{2} (- 3 x + 16 - x)$

Paso 1.1.5.4

Resta $x$ de $- 3 x$ .

$f' (x) = 3 {(16 - x)}^{2} (- 4 x + 16)$

Paso 1.1.5.5

Reescribe ${(16 - x)}^{2}$ como $(16 - x) (16 - x)$ .

$f' (x) = 3 ((16 - x) (16 - x)) (- 4 x + 16)$

Paso 1.1.5.6

Expande $(16 - x) (16 - x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.1.5.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = 3 (16 (16 - x) - x (16 - x)) (- 4 x + 16)$

Paso 1.1.5.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = 3 (16 \cdot 16 + 16 (- x) - x (16 - x)) (- 4 x + 16)$

Paso 1.1.5.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = 3 (16 \cdot 16 + 16 (- x) - x \cdot 16 - x (- x)) (- 4 x + 16)$

Paso 1.1.5.7

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.1.5.7.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.5.7.1.1

Multiplica $16$ por $16$ .

$f' (x) = 3 (256 + 16 (- x) - x \cdot 16 - x (- x)) (- 4 x + 16)$

Paso 1.1.5.7.1.2

Multiplica $- 1$ por $16$ .

$f' (x) = 3 (256 - 16 x - x \cdot 16 - x (- x)) (- 4 x + 16)$

Paso 1.1.5.7.1.3

Multiplica $16$ por $- 1$ .

$f' (x) = 3 (256 - 16 x - 16 x - x (- x)) (- 4 x + 16)$

Paso 1.1.5.7.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f' (x) = 3 (256 - 16 x - 16 x - 1 \cdot (- 1 x \cdot x)) (- 4 x + 16)$

Paso 1.1.5.7.1.5

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.5.7.1.5.1

Mueve $x$ .

$f' (x) = 3 (256 - 16 x - 16 x - 1 \cdot (- 1 (x \cdot x))) (- 4 x + 16)$

Paso 1.1.5.7.1.5.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$f' (x) = 3 (256 - 16 x - 16 x - 1 \cdot (- 1 x^{2})) (- 4 x + 16)$

Paso 1.1.5.7.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f' (x) = 3 (256 - 16 x - 16 x + 1 x^{2}) (- 4 x + 16)$

Paso 1.1.5.7.1.7

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$f' (x) = 3 (256 - 16 x - 16 x + x^{2}) (- 4 x + 16)$

Paso 1.1.5.7.2

Resta $16 x$ de $- 16 x$ .

$f' (x) = 3 (256 - 32 x + x^{2}) (- 4 x + 16)$

Paso 1.1.5.8

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = (3 \cdot 256 + 3 (- 32 x) + 3 x^{2}) (- 4 x + 16)$

Paso 1.1.5.9

Simplifica.

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Paso 1.1.5.9.1

Multiplica $3$ por $256$ .

$f' (x) = (768 + 3 (- 32 x) + 3 x^{2}) (- 4 x + 16)$

Paso 1.1.5.9.2

Multiplica $- 32$ por $3$ .

$f' (x) = (768 - 96 x + 3 x^{2}) (- 4 x + 16)$

Paso 1.1.5.10

Expande $(768 - 96 x + 3 x^{2}) (- 4 x + 16)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$f' (x) = 768 (- 4 x) + 768 \cdot 16 - 96 x (- 4 x) - 96 x \cdot 16 + 3 x^{2} (- 4 x) + 3 x^{2} \cdot 16$

Paso 1.1.5.11

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.5.11.1

Multiplica $- 4$ por $768$ .

$f' (x) = - 3072 x + 768 \cdot 16 - 96 x (- 4 x) - 96 x \cdot 16 + 3 x^{2} (- 4 x) + 3 x^{2} \cdot 16$

Paso 1.1.5.11.2

Multiplica $768$ por $16$ .

$f' (x) = - 3072 x + 12288 - 96 x (- 4 x) - 96 x \cdot 16 + 3 x^{2} (- 4 x) + 3 x^{2} \cdot 16$

Paso 1.1.5.11.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f' (x) = - 3072 x + 12288 - 96 \cdot (- 4 x \cdot x) - 96 x \cdot 16 + 3 x^{2} (- 4 x) + 3 x^{2} \cdot 16$

Paso 1.1.5.11.4

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.5.11.4.1

Mueve $x$ .

$f' (x) = - 3072 x + 12288 - 96 \cdot (- 4 (x \cdot x)) - 96 x \cdot 16 + 3 x^{2} (- 4 x) + 3 x^{2} \cdot 16$

Paso 1.1.5.11.4.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$f' (x) = - 3072 x + 12288 - 96 \cdot (- 4 x^{2}) - 96 x \cdot 16 + 3 x^{2} (- 4 x) + 3 x^{2} \cdot 16$

Paso 1.1.5.11.5

Multiplica $- 96$ por $- 4$ .

$f' (x) = - 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 96 x \cdot 16 + 3 x^{2} (- 4 x) + 3 x^{2} \cdot 16$

Paso 1.1.5.11.6

Multiplica $16$ por $- 96$ .

$f' (x) = - 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 1536 x + 3 x^{2} (- 4 x) + 3 x^{2} \cdot 16$

Paso 1.1.5.11.7

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f' (x) = - 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 1536 x + 3 \cdot (- 4 x^{2} x) + 3 x^{2} \cdot 16$

Paso 1.1.5.11.8

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.5.11.8.1

Mueve $x$ .

$f' (x) = - 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 1536 x + 3 \cdot (- 4 (x \cdot x^{2})) + 3 x^{2} \cdot 16$

Paso 1.1.5.11.8.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 1.1.5.11.8.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f' (x) = - 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 1536 x + 3 \cdot (- 4 (x \cdot x^{2})) + 3 x^{2} \cdot 16$

Paso 1.1.5.11.8.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (x) = - 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 1536 x + 3 \cdot (- 4 x^{1 + 2}) + 3 x^{2} \cdot 16$

Paso 1.1.5.11.8.3

Suma $1$ y $2$ .

$f' (x) = - 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 1536 x + 3 \cdot (- 4 x^{3}) + 3 x^{2} \cdot 16$

Paso 1.1.5.11.9

Multiplica $3$ por $- 4$ .

$f' (x) = - 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 1536 x - 12 x^{3} + 3 x^{2} \cdot 16$

Paso 1.1.5.11.10

Multiplica $16$ por $3$ .

$f' (x) = - 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 1536 x - 12 x^{3} + 48 x^{2}$

Paso 1.1.5.12

Resta $1536 x$ de $- 3072 x$ .

$f' (x) = - 4608 x + 12288 + 384 x^{2} - 12 x^{3} + 48 x^{2}$

Paso 1.1.5.13

Suma $384 x^{2}$ y $48 x^{2}$ .

$f' (x) = - 4608 x + 12288 - 12 x^{3} + 432 x^{2}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- 4608 x + 12288 - 12 x^{3} + 432 x^{2}$ .

$- 4608 x + 12288 - 12 x^{3} + 432 x^{2}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- 4608 x + 12288 - 12 x^{3} + 432 x^{2} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- 4608 x + 12288 - 12 x^{3} + 432 x^{2} = 0$

Paso 2.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.2.1

Factoriza $12$ de $- 4608 x + 12288 - 12 x^{3} + 432 x^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1

Factoriza $12$ de $- 4608 x$ .

$12 (- 384 x) + 12288 - 12 x^{3} + 432 x^{2} = 0$

Paso 2.2.1.2

Factoriza $12$ de $12288$ .

$12 (- 384 x) + 12 (1024) - 12 x^{3} + 432 x^{2} = 0$

Paso 2.2.1.3

Factoriza $12$ de $- 12 x^{3}$ .

$12 (- 384 x) + 12 (1024) + 12 (- x^{3}) + 432 x^{2} = 0$

Paso 2.2.1.4

Factoriza $12$ de $432 x^{2}$ .

$12 (- 384 x) + 12 (1024) + 12 (- x^{3}) + 12 (36 x^{2}) = 0$

Paso 2.2.1.5

Factoriza $12$ de $12 (- 384 x) + 12 (1024)$ .

$12 (- 384 x + 1024) + 12 (- x^{3}) + 12 (36 x^{2}) = 0$

Paso 2.2.1.6

Factoriza $12$ de $12 (- 384 x + 1024) + 12 (- x^{3})$ .

$12 (- 384 x + 1024 - x^{3}) + 12 (36 x^{2}) = 0$

Paso 2.2.1.7

Factoriza $12$ de $12 (- 384 x + 1024 - x^{3}) + 12 (36 x^{2})$ .

$12 (- 384 x + 1024 - x^{3} + 36 x^{2}) = 0$

Paso 2.2.2

Reordena los términos.

$12 (- x^{3} + 36 x^{2} - 384 x + 1024) = 0$

Paso 2.2.3

Factoriza.

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Paso 2.2.3.1

Factoriza $- x^{3} + 36 x^{2} - 384 x + 1024$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 2.2.3.1.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 1024, \pm 2, \pm 512, \pm 4, \pm 256, \pm 8, \pm 128, \pm 16, \pm 64, \pm 32$

$q = \pm 1$

Paso 2.2.3.1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 1024, \pm 2, \pm 512, \pm 4, \pm 256, \pm 8, \pm 128, \pm 16, \pm 64, \pm 32$

Paso 2.2.3.1.3

Sustituye $4$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $4$ es una raíz del polinomio.

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Paso 2.2.3.1.3.1

Sustituye $4$ en el polinomio.

$- 4^{3} + 36 \cdot 4^{2} - 384 \cdot 4 + 1024$

Paso 2.2.3.1.3.2

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$- 1 \cdot 64 + 36 \cdot 4^{2} - 384 \cdot 4 + 1024$

Paso 2.2.3.1.3.3

Multiplica $- 1$ por $64$ .

$- 64 + 36 \cdot 4^{2} - 384 \cdot 4 + 1024$

Paso 2.2.3.1.3.4

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$- 64 + 36 \cdot 16 - 384 \cdot 4 + 1024$

Paso 2.2.3.1.3.5

Multiplica $36$ por $16$ .

$- 64 + 576 - 384 \cdot 4 + 1024$

Paso 2.2.3.1.3.6

Suma $- 64$ y $576$ .

$512 - 384 \cdot 4 + 1024$

Paso 2.2.3.1.3.7

Multiplica $- 384$ por $4$ .

$512 - 1536 + 1024$

Paso 2.2.3.1.3.8

Resta $1536$ de $512$ .

$- 1024 + 1024$

Paso 2.2.3.1.3.9

Suma $- 1024$ y $1024$ .

$0$

Paso 2.2.3.1.4

Como $4$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x - 4$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{- x^{3} + 36 x^{2} - 384 x + 1024}{x - 4}$

Paso 2.2.3.1.5

Divide $- x^{3} + 36 x^{2} - 384 x + 1024$ por $x - 4$ .

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Paso 2.2.3.1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$4$

$x^{3}$

$36 x^{2}$

$384 x$

$1024$

Paso 2.2.3.1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				-	$x^{2}$
	$x$	-	$4$	-	$x^{3}$	+	$36 x^{2}$	-	$384 x$	+	$1024$

Paso 2.2.3.1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$4$	-	$x^{3}$	+	$36 x^{2}$	-	$384 x$	+	$1024$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Paso 2.2.3.1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- x^{3} + 4 x^{2}$ .

			-	$x^{2}$
$x$	-	$4$	-	$x^{3}$	+	$36 x^{2}$	-	$384 x$	+	$1024$
			+	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Paso 2.2.3.1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$4$	-	$x^{3}$	+	$36 x^{2}$	-	$384 x$	+	$1024$
			+	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$

Paso 2.2.3.1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$4$	-	$x^{3}$	+	$36 x^{2}$	-	$384 x$	+	$1024$
			+	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	-	$384 x$

Paso 2.2.3.1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $32 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$32 x$
$x$	-	$4$	-	$x^{3}$	+	$36 x^{2}$	-	$384 x$	+	$1024$
			+	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	-	$384 x$

Paso 2.2.3.1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

			-	$x^{2}$	+	$32 x$
$x$	-	$4$	-	$x^{3}$	+	$36 x^{2}$	-	$384 x$	+	$1024$
			+	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	-	$384 x$
					+	$32 x^{2}$	-	$128 x$

Paso 2.2.3.1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $32 x^{2} - 128 x$ .

			-	$x^{2}$	+	$32 x$
$x$	-	$4$	-	$x^{3}$	+	$36 x^{2}$	-	$384 x$	+	$1024$
			+	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	-	$384 x$
					-	$32 x^{2}$	+	$128 x$

Paso 2.2.3.1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

			-	$x^{2}$	+	$32 x$
$x$	-	$4$	-	$x^{3}$	+	$36 x^{2}$	-	$384 x$	+	$1024$
			+	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	-	$384 x$
					-	$32 x^{2}$	+	$128 x$
							-	$256 x$

Paso 2.2.3.1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

			-	$x^{2}$	+	$32 x$
$x$	-	$4$	-	$x^{3}$	+	$36 x^{2}$	-	$384 x$	+	$1024$
			+	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	-	$384 x$
					-	$32 x^{2}$	+	$128 x$
							-	$256 x$	+	$1024$

Paso 2.2.3.1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 256 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$32 x$	-	$256$
$x$	-	$4$	-	$x^{3}$	+	$36 x^{2}$	-	$384 x$	+	$1024$
			+	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	-	$384 x$
					-	$32 x^{2}$	+	$128 x$
							-	$256 x$	+	$1024$

Paso 2.2.3.1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

			-	$x^{2}$	+	$32 x$	-	$256$
$x$	-	$4$	-	$x^{3}$	+	$36 x^{2}$	-	$384 x$	+	$1024$
			+	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	-	$384 x$
					-	$32 x^{2}$	+	$128 x$
							-	$256 x$	+	$1024$
							-	$256 x$	+	$1024$

Paso 2.2.3.1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 256 x + 1024$ .

			-	$x^{2}$	+	$32 x$	-	$256$
$x$	-	$4$	-	$x^{3}$	+	$36 x^{2}$	-	$384 x$	+	$1024$
			+	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	-	$384 x$
					-	$32 x^{2}$	+	$128 x$
							-	$256 x$	+	$1024$
							+	$256 x$	-	$1024$

Paso 2.2.3.1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

			-	$x^{2}$	+	$32 x$	-	$256$
$x$	-	$4$	-	$x^{3}$	+	$36 x^{2}$	-	$384 x$	+	$1024$
			+	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	-	$384 x$
					-	$32 x^{2}$	+	$128 x$
							-	$256 x$	+	$1024$
							+	$256 x$	-	$1024$
										$0$

Paso 2.2.3.1.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$- x^{2} + 32 x - 256$

Paso 2.2.3.1.6

Escribe $- x^{3} + 36 x^{2} - 384 x + 1024$ como un conjunto de factores.

$12 ((x - 4) (- x^{2} + 32 x - 256)) = 0$

Paso 2.2.3.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$12 (x - 4) (- x^{2} + 32 x - 256) = 0$

Paso 2.2.4

Factoriza.

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Paso 2.2.4.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.2.4.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot - 256 = 256$ y cuya suma es $b = 32$ .

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Paso 2.2.4.1.1.1

Factoriza $32$ de $32 x$ .

$12 (x - 4) (- x^{2} + 32 (x) - 256) = 0$

Paso 2.2.4.1.1.2

Reescribe $32$ como $16$ más $16$

$12 (x - 4) (- x^{2} + (16 + 16) x - 256) = 0$

Paso 2.2.4.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$12 (x - 4) (- x^{2} + 16 x + 16 x - 256) = 0$

Paso 2.2.4.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.2.4.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$12 (x - 4) ((- x^{2} + 16 x) + 16 x - 256) = 0$

Paso 2.2.4.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$12 (x - 4) (x (- x + 16) - 16 (- x + 16)) = 0$

Paso 2.2.4.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- x + 16$ .

$12 (x - 4) ((- x + 16) (x - 16)) = 0$

Paso 2.2.4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$12 (x - 4) (- x + 16) (x - 16) = 0$

Paso 2.2.5

Combina exponentes.

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Paso 2.2.5.1

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$12 (x - 4) (- (x) + 16) (x - 16) = 0$

Paso 2.2.5.2

Reescribe $16$ como $- 1 (- 16)$ .

$12 (x - 4) (- (x) - 1 \cdot - 16) (x - 16) = 0$

Paso 2.2.5.3

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (- 16)$ .

$12 (x - 4) (- (x - 16)) (x - 16) = 0$

Paso 2.2.5.4

Reescribe $- (x - 16)$ como $- 1 (x - 16)$ .

$12 (x - 4) (- 1 (x - 16)) (x - 16) = 0$

Paso 2.2.5.5

Elimina los paréntesis.

$12 (x - 4) \cdot (- 1 (x - 16) (x - 16)) = 0$

Paso 2.2.5.6

Eleva $x - 16$ a la potencia de $1$ .

$12 (x - 4) \cdot (- 1 ((x - 16) (x - 16))) = 0$

Paso 2.2.5.7

Eleva $x - 16$ a la potencia de $1$ .

$12 (x - 4) \cdot (- 1 ((x - 16) (x - 16))) = 0$

Paso 2.2.5.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$12 (x - 4) \cdot (- 1 {(x - 16)}^{1 + 1}) = 0$

Paso 2.2.5.9

Suma $1$ y $1$ .

$12 (x - 4) \cdot (- 1 {(x - 16)}^{2}) = 0$

Paso 2.2.5.10

Multiplica $- 1$ por $12$ .

$- 12 (x - 4) {(x - 16)}^{2} = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

${(x - 16)}^{2} = 0$

Paso 2.4

Establece $x - 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $x - 4$ igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Paso 2.4.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$

Paso 2.5

Establece ${(x - 16)}^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece ${(x - 16)}^{2}$ igual a $0$ .

${(x - 16)}^{2} = 0$

Paso 2.5.2

Resuelve ${(x - 16)}^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 2.5.2.1

Establece $x - 16$ igual a $0$ .

$x - 16 = 0$

Paso 2.5.2.2

Suma $16$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 16$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $- 12 (x - 4) {(x - 16)}^{2} = 0$ verdadera.

$x = 4, 16$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 4

Evalúa $3 x {(16 - x)}^{3}$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = 4$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $4$ por $x$ .

$3 (4) {(16 - (4))}^{3}$

Paso 4.1.2

Simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Multiplica $3$ por $4$ .

$12 {(16 - (4))}^{3}$

Paso 4.1.2.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$12 {(16 - 4)}^{3}$

Paso 4.1.2.3

Resta $4$ de $16$ .

$12 \cdot 12^{3}$

Paso 4.1.2.4

Multiplica $12$ por $12^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1.2.4.1

Multiplica $12$ por $12^{3}$ .

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Paso 4.1.2.4.1.1

Eleva $12$ a la potencia de $1$ .

$12^{1} \cdot 12^{3}$

Paso 4.1.2.4.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$12^{1 + 3}$

Paso 4.1.2.4.2

Suma $1$ y $3$ .

$12^{4}$

Paso 4.1.2.5

Eleva $12$ a la potencia de $4$ .

$20736$

Paso 4.2

Evalúa en $x = 16$ .

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Paso 4.2.1

Sustituye $16$ por $x$ .

$3 (16) {(16 - (16))}^{3}$

Paso 4.2.2

Simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Multiplica $3$ por $16$ .

$48 {(16 - (16))}^{3}$

Paso 4.2.2.2

Multiplica $- 1$ por $16$ .

$48 {(16 - 16)}^{3}$

Paso 4.2.2.3

Resta $16$ de $16$ .

$48 \cdot 0^{3}$

Paso 4.2.2.4

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$48 \cdot 0$

Paso 4.2.2.5

Multiplica $48$ por $0$ .

$0$

Paso 4.3

Enumera todos los puntos.

$(4, 20736), (16, 0)$

Paso 5