Cálculo Ejemplos

$f (x) = 3 x^{5} - 10 x^{3} + 15 x$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{5} - 10 x^{3} + 15 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x]$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{5}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x]$

Paso 1.1.2.3

Multiplica $5$ por $3$ .

$15 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $- 10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 10 x^{3}$ con respecto a $x$ es $- 10 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$15 x^{4} - 10 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$15 x^{4} - 10 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [15 x]$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $3$ por $- 10$ .

$15 x^{4} - 30 x^{2} + \frac{d}{d x} [15 x]$

Paso 1.1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [15 x]$ .

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Paso 1.1.4.1

Como $15$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $15 x$ con respecto a $x$ es $15 \frac{d}{d x} [x]$ .

$15 x^{4} - 30 x^{2} + 15 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$15 x^{4} - 30 x^{2} + 15 \cdot 1$

Paso 1.1.4.3

Multiplica $15$ por $1$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 30 x^{2} + 15$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $15 x^{4} - 30 x^{2} + 15$ .

$15 x^{4} - 30 x^{2} + 15$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $15 x^{4} - 30 x^{2} + 15 = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$15 x^{4} - 30 x^{2} + 15 = 0$

Paso 2.2

Sustituye $u = x^{2}$ en la ecuación. Esto hará que la fórmula cuadrática sea fácil de usar.

$15 u^{2} - 30 u + 15 = 0$

$u = x^{2}$

Paso 2.3

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.3.1

Factoriza $15$ de $15 u^{2} - 30 u + 15$ .

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Paso 2.3.1.1

Factoriza $15$ de $15 u^{2}$ .

$15 (u^{2}) - 30 u + 15 = 0$

Paso 2.3.1.2

Factoriza $15$ de $- 30 u$ .

$15 (u^{2}) + 15 (- 2 u) + 15 = 0$

Paso 2.3.1.3

Factoriza $15$ de $15$ .

$15 (u^{2}) + 15 (- 2 u) + 15 (1) = 0$

Paso 2.3.1.4

Factoriza $15$ de $15 (u^{2}) + 15 (- 2 u)$ .

$15 (u^{2} - 2 u) + 15 (1) = 0$

Paso 2.3.1.5

Factoriza $15$ de $15 (u^{2} - 2 u) + 15 (1)$ .

$15 (u^{2} - 2 u + 1) = 0$

Paso 2.3.2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 2.3.2.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$15 (u^{2} - 2 u + 1^{2}) = 0$

Paso 2.3.2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Paso 2.3.2.3

Reescribe el polinomio.

$15 (u^{2} - 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Paso 2.3.2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = u$ y $b = 1$ .

$15 {(u - 1)}^{2} = 0$

Paso 2.4

Divide cada término en $15 {(u - 1)}^{2} = 0$ por $15$ y simplifica.

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Paso 2.4.1

Divide cada término en $15 {(u - 1)}^{2} = 0$ por $15$ .

$\frac{15 {(u - 1)}^{2}}{15} = \frac{0}{15}$

Paso 2.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.2.1

Cancela el factor común de $15$ .

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Paso 2.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{15 {(u - 1)}^{2}}{15} = \frac{0}{15}$

Paso 2.4.2.1.2

Divide ${(u - 1)}^{2}$ por $1$ .

${(u - 1)}^{2} = \frac{0}{15}$

Paso 2.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.3.1

Divide $0$ por $15$ .

${(u - 1)}^{2} = 0$

Paso 2.5

Establece $u - 1$ igual a $0$ .

$u - 1 = 0$

Paso 2.6

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$u = 1$

Paso 2.7

Sustituye el valor real de $u = x^{2}$ de nuevo en la ecuación resuelta.

$x^{2} = 1$

Paso 2.8

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 2.8.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{1}$

Paso 2.8.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$x = \pm 1$

Paso 2.8.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.8.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 1$

Paso 2.8.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 1$

Paso 2.8.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 1, - 1$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 4

Evalúa $3 x^{5} - 10 x^{3} + 15 x$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = 1$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $1$ por $x$ .

$3 {(1)}^{5} - 10 {(1)}^{3} + 15 (1)$

Paso 4.1.2

Simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$3 \cdot 1 - 10 {(1)}^{3} + 15 (1)$

Paso 4.1.2.1.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$3 - 10 {(1)}^{3} + 15 (1)$

Paso 4.1.2.1.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$3 - 10 \cdot 1 + 15 (1)$

Paso 4.1.2.1.4

Multiplica $- 10$ por $1$ .

$3 - 10 + 15 (1)$

Paso 4.1.2.1.5

Multiplica $15$ por $1$ .

$3 - 10 + 15$

Paso 4.1.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 4.1.2.2.1

Resta $10$ de $3$ .

$- 7 + 15$

Paso 4.1.2.2.2

Suma $- 7$ y $15$ .

$8$

Paso 4.2

Evalúa en $x = - 1$ .

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Paso 4.2.1

Sustituye $- 1$ por $x$ .

$3 {(- 1)}^{5} - 10 {(- 1)}^{3} + 15 (- 1)$

Paso 4.2.2

Simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.2.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $5$ .

$3 \cdot - 1 - 10 {(- 1)}^{3} + 15 (- 1)$

Paso 4.2.2.1.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$- 3 - 10 {(- 1)}^{3} + 15 (- 1)$

Paso 4.2.2.1.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$- 3 - 10 \cdot - 1 + 15 (- 1)$

Paso 4.2.2.1.4

Multiplica $- 10$ por $- 1$ .

$- 3 + 10 + 15 (- 1)$

Paso 4.2.2.1.5

Multiplica $15$ por $- 1$ .

$- 3 + 10 - 15$

Paso 4.2.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 4.2.2.2.1

Suma $- 3$ y $10$ .

$7 - 15$

Paso 4.2.2.2.2

Resta $15$ de $7$ .

$- 8$

Paso 4.3

Enumera todos los puntos.

$(1, 8), (- 1, - 8)$

Paso 5