Cálculo Ejemplos

$f (x) = 2 x^{3} + x^{2} + 2 x$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{3} + x^{2} + 2 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x)$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{3}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x)$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f' (x) = 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x)$

Paso 1.1.2.3

Multiplica $3$ por $2$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x)$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} (2 x)$

Paso 1.1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 1.1.4.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 2 x + 2 \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 2 x + 2 \cdot 1$

Paso 1.1.4.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 2 x + 2$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $6 x^{2} + 2 x + 2$ .

$6 x^{2} + 2 x + 2$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $6 x^{2} + 2 x + 2 = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$6 x^{2} + 2 x + 2 = 0$

Paso 2.2

Factoriza $2$ de $6 x^{2} + 2 x + 2$ .

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Paso 2.2.1

Factoriza $2$ de $6 x^{2}$ .

$2 (3 x^{2}) + 2 x + 2 = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$2 (3 x^{2}) + 2 (x) + 2 = 0$

Paso 2.2.3

Factoriza $2$ de $2$ .

$2 (3 x^{2}) + 2 (x) + 2 (1) = 0$

Paso 2.2.4

Factoriza $2$ de $2 (3 x^{2}) + 2 (x)$ .

$2 (3 x^{2} + x) + 2 (1) = 0$

Paso 2.2.5

Factoriza $2$ de $2 (3 x^{2} + x) + 2 (1)$ .

$2 (3 x^{2} + x + 1) = 0$

Paso 2.3

Divide cada término en $2 (3 x^{2} + x + 1) = 0$ por $2$ y simplifica.

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Paso 2.3.1

Divide cada término en $2 (3 x^{2} + x + 1) = 0$ por $2$ .

$\frac{2 (3 x^{2} + x + 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (3 x^{2} + x + 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 2.3.2.1.2

Divide $3 x^{2} + x + 1$ por $1$ .

$3 x^{2} + x + 1 = \frac{0}{2}$

Paso 2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.3.1

Divide $0$ por $2$ .

$3 x^{2} + x + 1 = 0$

Paso 2.4

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 2.5

Sustituye los valores $a = 3$ , $b = 1$ y $c = 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 1)}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.6

Simplifica.

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Paso 2.6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.6.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 3 \cdot 1$ .

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Paso 2.6.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 12 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.6.1.2.2

Multiplica $- 12$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 12}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.6.1.3

Resta $12$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 11}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.6.1.4

Reescribe $- 11$ como $- 1 (11)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 11}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.6.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (11)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.6.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{11}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.6.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{11}}{6}$

Paso 2.7

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 2.7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.7.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.7.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 3 \cdot 1$ .

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Paso 2.7.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 12 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.7.1.2.2

Multiplica $- 12$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 12}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.7.1.3

Resta $12$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 11}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.7.1.4

Reescribe $- 11$ como $- 1 (11)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 11}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.7.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (11)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.7.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{11}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.7.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{11}}{6}$

Paso 2.7.3

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{11}}{6}$

Paso 2.7.4

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{11}}{6}$

Paso 2.7.5

Factoriza $- 1$ de $i \sqrt{11}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{11})}{6}$

Paso 2.7.6

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1) - (- i \sqrt{11})$ .

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{11})}{6}$

Paso 2.7.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{11}}{6}$

Paso 2.8

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 2.8.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.8.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.8.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 3 \cdot 1$ .

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Paso 2.8.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 12 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.8.1.2.2

Multiplica $- 12$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 12}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.8.1.3

Resta $12$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 11}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.8.1.4

Reescribe $- 11$ como $- 1 (11)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 11}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.8.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (11)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.8.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{11}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.8.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{11}}{6}$

Paso 2.8.3

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{11}}{6}$

Paso 2.8.4

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{11}}{6}$

Paso 2.8.5

Factoriza $- 1$ de $- i \sqrt{11}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{11})}{6}$

Paso 2.8.6

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1) - (i \sqrt{11})$ .

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{11})}{6}$

Paso 2.8.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{1 + i \sqrt{11}}{6}$

Paso 2.9

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{11}}{6}, - \frac{1 + i \sqrt{11}}{6}$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 4

No hay valores de $x$ en el dominio del problema original donde la derivada es $0$ o indefinida.

No se obtuvieron puntos críticos