Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (4 x)}{3 x}$

Paso 1

Mueve el término $\frac{1}{3}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (4 x)}{x}$

Paso 2

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 2.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 2.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \sin^{2} (4 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 2.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 2.1.2.1.1

Mueve el exponente $2$ de $\sin^{2} (4 x)$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} \sin (4 x))}^{2}}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.1.2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin^{2} (lim_{x \to 0} 4 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.1.3

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin^{2} (4 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin^{2} (4 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.1.2.3.1

Multiplica $4$ por $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin^{2} (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.3.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0^{2}}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.3.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 2.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 2.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (4 x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 2.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \sin (4 x)$ .

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Paso 2.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\sin (4 x)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\sin (4 x)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (4 x) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 4 x$ .

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Paso 2.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $4 x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (4 x) \frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.3.2

La derivada de $\sin (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (4 x) \cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [4 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $4 x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (4 x) \cos (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.4

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (4 x) \cos (4 x) \cdot 4 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.5

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{8 \sin (4 x) \cos (4 x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{8 \sin (4 x) \cos (4 x) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.7

Multiplica $8$ por $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{8 \sin (4 x) \cos (4 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.8

Reordena los factores de $8 \sin (4 x) \cos (4 x)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{8 \cos (4 x) \sin (4 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{8 \cos (4 x) \sin (4 x)}{1}$

Paso 2.4

Divide $8 \cos (4 x) \sin (4 x)$ por $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} 8 \cos (4 x) \sin (4 x)$

Paso 3

Evalúa el límite.

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Paso 3.1

Mueve el término $8$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot 8 lim_{x \to 0} \cos (4 x) \sin (4 x)$

Paso 3.2

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot 8 lim_{x \to 0} \cos (4 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (4 x)$

Paso 3.3

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{1}{3} \cdot 8 \cos (lim_{x \to 0} 4 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (4 x)$

Paso 3.4

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot 8 \cos (4 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (4 x)$

Paso 3.5

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{1}{3} \cdot 8 \cos (4 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} 4 x)$

Paso 3.6

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot 8 \cos (4 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x)$

Paso 4

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 4.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot 8 \cos (4 \cdot 0) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x)$

Paso 4.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot 8 \cos (4 \cdot 0) \cdot \sin (4 \cdot 0)$

Paso 5

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $8$ .

$\frac{8}{3} \cos (4 \cdot 0) \cdot \sin (4 \cdot 0)$

Paso 5.2

Multiplica $4$ por $0$ .

$\frac{8}{3} \cos (0) \cdot \sin (4 \cdot 0)$

Paso 5.3

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{8}{3} \cdot 1 \cdot \sin (4 \cdot 0)$

Paso 5.4

Multiplica $\frac{8}{3}$ por $1$ .

$\frac{8}{3} \cdot \sin (4 \cdot 0)$

Paso 5.5

Multiplica $4$ por $0$ .

$\frac{8}{3} \cdot \sin (0)$

Paso 5.6

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{8}{3} \cdot 0$

Paso 5.7

Multiplica $\frac{8}{3}$ por $0$ .

$0$