Cálculo Ejemplos

$f (x) = - 2 x^{2} - 4 y^{2} + 2 x + 2 y + 3$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 2 x^{2} - 4 y^{2} + 2 x + 2 y + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.2.3

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$- 4 x + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.3

Como $- 4 y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 y^{2}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 4 x + 0 + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 x + 0 + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 4 x + 0 + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.4.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$- 4 x + 0 + 2 + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.5

Diferencia con la regla de la constante.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.1

Como $2 y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 y$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 4 x + 0 + 2 + 0 + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.5.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 4 x + 0 + 2 + 0 + 0$

Paso 1.6

Combina los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.6.1

Suma $- 4 x$ y $0$ .

$- 4 x + 2 + 0 + 0$

Paso 1.6.2

Suma $- 4 x + 2$ y $0$ .

$- 4 x + 2 + 0$

Paso 1.6.3

Suma $- 4 x + 2$ y $0$ .

$- 4 x + 2$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 4 x + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (2)$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (2)$

Paso 2.2.3

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$f'' (x) = - 4 + \frac{d}{d x} (2)$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la constante.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = - 4 + 0$

Paso 2.3.2

Suma $- 4$ y $0$ .

$f'' (x) = - 4$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$- 4 x + 2 = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 4.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 4.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 4.1.2.3

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$- 4 x + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 4.1.3

Como $- 4 y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 y^{2}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 4 x + 0 + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 4.1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.4.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 x + 0 + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 4.1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 4 x + 0 + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 4.1.4.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$- 4 x + 0 + 2 + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 4.1.5

Diferencia con la regla de la constante.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.5.1

Como $2 y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 y$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 4 x + 0 + 2 + 0 + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 4.1.5.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 4 x + 0 + 2 + 0 + 0$

Paso 4.1.6

Combina los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.6.1

Suma $- 4 x$ y $0$ .

$- 4 x + 2 + 0 + 0$

Paso 4.1.6.2

Suma $- 4 x + 2$ y $0$ .

$- 4 x + 2 + 0$

Paso 4.1.6.3

Suma $- 4 x + 2$ y $0$ .

$f' (x) = - 4 x + 2$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- 4 x + 2$ .

$- 4 x + 2$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- 4 x + 2 = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- 4 x + 2 = 0$

Paso 5.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$- 4 x = - 2$

Paso 5.3

Divide cada término en $- 4 x = - 2$ por $- 4$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1

Divide cada término en $- 4 x = - 2$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 2}{- 4}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $- 4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 2}{- 4}$

Paso 5.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 4}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.1

Cancela el factor común de $- 2$ y $- 4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.1.1

Factoriza $- 2$ de $- 2$ .

$x = \frac{- 2 (1)}{- 4}$

Paso 5.3.3.1.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.1.2.1

Factoriza $- 2$ de $- 4$ .

$x = \frac{- 2 \cdot 1}{- 2 \cdot 2}$

Paso 5.3.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{- 2 \cdot 1}{- 2 \cdot 2}$

Paso 5.3.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{1}{2}$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = \frac{1}{2}$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{1}{2}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- 4$

Paso 9

$x = \frac{1}{2}$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = \frac{1}{2}$ es un máximo local

Paso 10

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{1}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{1}{2}$ en la expresión.

$f (\frac{1}{2}) = - 2 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4 y^{2} + 2 (\frac{1}{2}) + 2 y + 3$

Paso 10.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = - 2 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 4 y^{2} + 2 (\frac{1}{2}) + 2 y + 3$

Paso 10.2.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (\frac{1}{2}) = - 2 \frac{1}{2^{2}} - 4 y^{2} + 2 (\frac{1}{2}) + 2 y + 3$

Paso 10.2.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = - 2 (\frac{1}{4}) - 4 y^{2} + 2 (\frac{1}{2}) + 2 y + 3$

Paso 10.2.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.1.4.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$f (\frac{1}{2}) = 2 (- 1) (\frac{1}{4}) - 4 y^{2} + 2 (\frac{1}{2}) + 2 y + 3$

Paso 10.2.1.4.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$f (\frac{1}{2}) = 2 \cdot (- 1 \frac{1}{2 \cdot 2}) - 4 y^{2} + 2 (\frac{1}{2}) + 2 y + 3$

Paso 10.2.1.4.3

Cancela el factor común.

$f (\frac{1}{2}) = 2 \cdot (- 1 \frac{1}{2 \cdot 2}) - 4 y^{2} + 2 (\frac{1}{2}) + 2 y + 3$

Paso 10.2.1.4.4

Reescribe la expresión.

$f (\frac{1}{2}) = - 1 (\frac{1}{2}) - 4 y^{2} + 2 (\frac{1}{2}) + 2 y + 3$

Paso 10.2.1.5

Reescribe $- 1 (\frac{1}{2})$ como $- (\frac{1}{2})$ .

$f (\frac{1}{2}) = - (\frac{1}{2}) - 4 y^{2} + 2 (\frac{1}{2}) + 2 y + 3$

Paso 10.2.1.6

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.1.6.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} - 4 y^{2} + 2 (\frac{1}{2}) + 2 y + 3$

Paso 10.2.1.6.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} - 4 y^{2} + 1 + 2 y + 3$

Paso 10.2.2

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.2.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f (\frac{1}{2}) = - 4 y^{2} - \frac{1}{2} + \frac{2}{2} + 2 y + 3$

Paso 10.2.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{1}{2}) = - 4 y^{2} + \frac{- 1 + 2}{2} + 2 y + 3$

Paso 10.2.2.3

Suma $- 1$ y $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = - 4 y^{2} + \frac{1}{2} + 2 y + 3$

Paso 10.2.3

Para escribir $3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = - 4 y^{2} + 2 y + \frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}$

Paso 10.2.4

Combina $3$ y $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = - 4 y^{2} + 2 y + \frac{1}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}$

Paso 10.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{1}{2}) = - 4 y^{2} + 2 y + \frac{1 + 3 \cdot 2}{2}$

Paso 10.2.6

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.6.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = - 4 y^{2} + 2 y + \frac{1 + 6}{2}$

Paso 10.2.6.2

Suma $1$ y $6$ .

$f (\frac{1}{2}) = - 4 y^{2} + 2 y + \frac{7}{2}$

Paso 10.2.7

La respuesta final es $- 4 y^{2} + 2 y + \frac{7}{2}$ .

$y = - 4 y^{2} + 2 y + \frac{7}{2}$

Paso 11

Estos son los extremos locales de $f (x) = - 2 x^{2} - 4 y^{2} + 2 x + 2 y + 3$ .

$(\frac{1}{2}, - 4 y^{2} + 2 y + \frac{7}{2})$ es un máximo local

Paso 12