Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{2} - 8 \ln (x)$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 8 \ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 \ln (x)]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 8 \ln (x)]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 8 \ln (x)]$ .

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Paso 1.2.1

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 8 \ln (x)$ con respecto a $x$ es $- 8 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$2 x - 8 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 1.2.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$2 x - 8 \frac{1}{x}$

Paso 1.2.3

Combina $- 8$ y $\frac{1}{x}$ .

$2 x + \frac{- 8}{x}$

Paso 1.2.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$2 x - \frac{8}{x}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x - \frac{8}{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \frac{8}{x})$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 2.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{8}{x})$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{8}{x})$

Paso 2.2.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{d}{d x} (- \frac{8}{x})$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{8}{x}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{8}{x}$ con respecto a $x$ es $- 8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f'' (x) = 2 - 8 \frac{d}{d x} \frac{1}{x}$

Paso 2.3.2

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$f'' (x) = 2 - 8 \frac{d}{d x} x^{- 1}$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$f'' (x) = 2 - 8 (- x^{- 2})$

Paso 2.3.4

Multiplica $- 1$ por $- 8$ .

$f'' (x) = 2 + 8 x^{- 2}$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 2 + 8 (\frac{1}{x^{2}})$

Paso 2.4.2

Combina $8$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{8}{x^{2}}$

Paso 2.4.3

Reordena los términos.

$f'' (x) = \frac{8}{x^{2}} + 2$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$2 x - \frac{8}{x} = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

Diferencia.

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Paso 4.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 8 \ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 \ln (x)]$

Paso 4.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 8 \ln (x)]$

Paso 4.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 8 \ln (x)]$ .

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Paso 4.1.2.1

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 8 \ln (x)$ con respecto a $x$ es $- 8 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$2 x - 8 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 4.1.2.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$2 x - 8 \frac{1}{x}$

Paso 4.1.2.3

Combina $- 8$ y $\frac{1}{x}$ .

$2 x + \frac{- 8}{x}$

Paso 4.1.2.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = 2 x - \frac{8}{x}$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $2 x - \frac{8}{x}$ .

$2 x - \frac{8}{x}$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $2 x - \frac{8}{x} = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$2 x - \frac{8}{x} = 0$

Paso 5.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 5.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$1, x, 1$

Paso 5.2.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$x$

Paso 5.3

Multiplica cada término en $2 x - \frac{8}{x} = 0$ por $x$ para eliminar las fracciones.

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Paso 5.3.1

Multiplica cada término en $2 x - \frac{8}{x} = 0$ por $x$ .

$2 x \cdot x - \frac{8}{x} x = 0 x$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.2.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 5.3.2.1.1.1

Mueve $x$ .

$2 (x \cdot x) - \frac{8}{x} x = 0 x$

Paso 5.3.2.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$2 x^{2} - \frac{8}{x} x = 0 x$

Paso 5.3.2.1.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.3.2.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{8}{x}$ al numerador.

$2 x^{2} + \frac{- 8}{x} x = 0 x$

Paso 5.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$2 x^{2} + \frac{- 8}{x} x = 0 x$

Paso 5.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$2 x^{2} - 8 = 0 x$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Multiplica $0$ por $x$ .

$2 x^{2} - 8 = 0$

Paso 5.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 5.4.1

Suma $8$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x^{2} = 8$

Paso 5.4.2

Divide cada término en $2 x^{2} = 8$ por $2$ y simplifica.

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Paso 5.4.2.1

Divide cada término en $2 x^{2} = 8$ por $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{8}{2}$

Paso 5.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{8}{2}$

Paso 5.4.2.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{8}{2}$

Paso 5.4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.2.3.1

Divide $8$ por $2$ .

$x^{2} = 4$

Paso 5.4.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{4}$

Paso 5.4.4

Simplifica $\pm \sqrt{4}$ .

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Paso 5.4.4.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Paso 5.4.4.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 2$

Paso 5.4.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 5.4.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 2$

Paso 5.4.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 2$

Paso 5.4.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 2, - 2$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

Establece el denominador en $\frac{8}{x}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x = 0$

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = 2$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = 2$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{8}{{(2)}^{2}} + 2$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Simplifica cada término.

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Paso 9.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{8}{4} + 2$

Paso 9.1.2

Divide $8$ por $4$ .

$2 + 2$

Paso 9.2

Suma $2$ y $2$ .

$4$

Paso 10

$x = 2$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = 2$ es un mínimo local

Paso 11

Obtén el valor de y cuando $x = 2$ .

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Paso 11.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f (2) = {(2)}^{2} - 8 \ln (2)$

Paso 11.2

Simplifica el resultado.

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Paso 11.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 11.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (2) = 4 - 8 \ln (2)$

Paso 11.2.1.2

Simplifica $- 8 \ln (2)$ al mover $8$ dentro del algoritmo.

$f (2) = 4 - \ln (2^{8})$

Paso 11.2.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $8$ .

$f (2) = 4 - \ln (256)$

Paso 11.2.2

La respuesta final es $4 - \ln (256)$ .

$y = 4 - \ln (256)$

Paso 12

Estos son los extremos locales de $f (x) = x^{2} - 8 \ln (x)$ .

$(2, 4 - \ln (256))$ es un mínimo local

Paso 13