Cálculo Ejemplos

$y = x e^{- x}$

Paso 1

Escribe $y = x e^{- x}$ como una función.

$f (x) = x e^{- x}$

Paso 2

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = e^{- x}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- x$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- x$ .

$x (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3

Diferencia.

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Paso 2.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.3.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.3.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{- x}$ .

$x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.3.3

Reescribe $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$x (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1$

Paso 2.3.5

Multiplica $e^{- x}$ por $1$ .

$x (- e^{- x}) + e^{- x}$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Reordena los términos.

$- e^{- x} x + e^{- x}$

Paso 2.4.2

Reordena los factores en $- e^{- x} x + e^{- x}$ .

$- x e^{- x} + e^{- x}$

Paso 3

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- x e^{- x} + e^{- x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- x e^{- x}) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x e^{- x}]$ .

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Paso 3.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x e^{- x}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x e^{- x}]$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} (x e^{- x}) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = e^{- x}$ .

$f'' (x) = - (x \frac{d}{d x} (e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Paso 3.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x$ .

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Paso 3.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $- x$ .

$f'' (x) = - (x (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Paso 3.2.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Paso 3.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $- x$ .

$f'' (x) = - (x (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Paso 3.2.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - (x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Paso 3.2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = - (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Paso 3.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = - (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Paso 3.2.7

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f'' (x) = - (x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Paso 3.2.8

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{- x}$ .

$f'' (x) = - (x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Paso 3.2.9

Reescribe $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Paso 3.2.10

Multiplica $e^{- x}$ por $1$ .

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

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Paso 3.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x$ .

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Paso 3.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $- x$ .

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + \frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- x)$

Paso 3.3.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- x)$

Paso 3.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $- x$ .

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)$

Paso 3.3.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)$

Paso 3.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Paso 3.3.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{- x} \cdot - 1$

Paso 3.3.5

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{- x}$ .

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - 1 \cdot e^{- x}$

Paso 3.3.6

Reescribe $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - e^{- x}$

Paso 3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - (x (- e^{- x})) - e^{- x} - e^{- x}$

Paso 3.4.2

Combina los términos.

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Paso 3.4.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (x (e^{- x})) - e^{- x} - e^{- x}$

Paso 3.4.2.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$f'' (x) = x e^{- x} - e^{- x} - e^{- x}$

Paso 3.4.2.3

Resta $e^{- x}$ de $- e^{- x}$ .

$f'' (x) = x e^{- x} - 2 e^{- x}$

Paso 3.4.3

Reordena los términos.

$f'' (x) = e^{- x} x - 2 e^{- x}$

Paso 3.4.4

Reordena los factores en $e^{- x} x - 2 e^{- x}$ .

$f'' (x) = x e^{- x} - 2 e^{- x}$

Paso 4

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$- x e^{- x} + e^{- x} = 0$

Paso 5

Obtén la primera derivada.

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Paso 5.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 5.1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = e^{- x}$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} (e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 5.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x$ .

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Paso 5.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- x$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 5.1.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$f' (x) = x (e^{u} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 5.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- x$ .

$f' (x) = x (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 5.1.3

Diferencia.

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Paso 5.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 5.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 5.1.3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 5.1.3.3.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 5.1.3.3.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{- x}$ .

$f' (x) = x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 5.1.3.3.3

Reescribe $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$f' (x) = x (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 5.1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1$

Paso 5.1.3.5

Multiplica $e^{- x}$ por $1$ .

$f' (x) = x (- e^{- x}) + e^{- x}$

Paso 5.1.4

Simplifica.

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Paso 5.1.4.1

Reordena los términos.

$f' (x) = - e^{- x} x + e^{- x}$

Paso 5.1.4.2

Reordena los factores en $- e^{- x} x + e^{- x}$ .

$f' (x) = - x e^{- x} + e^{- x}$

Paso 5.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- x e^{- x} + e^{- x}$ .

$- x e^{- x} + e^{- x}$

Paso 6

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- x e^{- x} + e^{- x} = 0$ .

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Paso 6.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- x e^{- x} + e^{- x} = 0$

Paso 6.2

Factoriza $e^{- x}$ de $- x e^{- x} + e^{- x}$ .

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Paso 6.2.1

Factoriza $e^{- x}$ de $- x e^{- x}$ .

$e^{- x} (- x) + e^{- x} = 0$

Paso 6.2.2

Multiplica por $1$ .

$e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot 1 = 0$

Paso 6.2.3

Factoriza $e^{- x}$ de $e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot 1$ .

$e^{- x} (- x + 1) = 0$

Paso 6.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$e^{- x} = 0$

$- x + 1 = 0$

Paso 6.4

Establece $e^{- x}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.4.1

Establece $e^{- x}$ igual a $0$ .

$e^{- x} = 0$

Paso 6.4.2

Resuelve $e^{- x} = 0$ en $x$ .

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Paso 6.4.2.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

Paso 6.4.2.2

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (0)$ es indefinida.

Indefinida

Paso 6.4.2.3

No hay soluciones para $e^{- x} = 0$

No hay solución

Paso 6.5

Establece $- x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.5.1

Establece $- x + 1$ igual a $0$ .

$- x + 1 = 0$

Paso 6.5.2

Resuelve $- x + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 6.5.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- x = - 1$

Paso 6.5.2.2

Divide cada término en $- x = - 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 6.5.2.2.1

Divide cada término en $- x = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 6.5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.5.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 6.5.2.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 6.5.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.5.2.2.3.1

Divide $- 1$ por $- 1$ .

$x = 1$

Paso 6.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $e^{- x} (- x + 1) = 0$ verdadera.

$x = 1$

Paso 7

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 7.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 8

Puntos críticos para evaluar.

$x = 1$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada en $x = 1$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$(1) e^{- (1)} - 2 e^{- (1)}$

Paso 10

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 10.1

Simplifica cada término.

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Paso 10.1.1

Multiplica $e^{- (1)}$ por $1$ .

$e^{- (1)} - 2 e^{- (1)}$

Paso 10.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$e^{- 1} - 2 e^{- (1)}$

Paso 10.1.3

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e} - 2 e^{- (1)}$

Paso 10.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{e} - 2 e^{- 1}$

Paso 10.1.5

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e} - 2 \frac{1}{e}$

Paso 10.1.6

Combina $- 2$ y $\frac{1}{e}$ .

$\frac{1}{e} + \frac{- 2}{e}$

Paso 10.1.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{e} - \frac{2}{e}$

Paso 10.2

Combina fracciones.

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Paso 10.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1 - 2}{e}$

Paso 10.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 10.2.2.1

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{- 1}{e}$

Paso 10.2.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{e}$

Paso 11

$x = 1$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = 1$ es un máximo local

Paso 12

Obtén el valor de y cuando $x = 1$ .

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Paso 12.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = (1) \cdot e^{- (1)}$

Paso 12.2

Simplifica el resultado.

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Paso 12.2.1

Multiplica $e^{- (1)}$ por $1$ .

$f (1) = e^{- (1)}$

Paso 12.2.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (1) = e^{- 1}$

Paso 12.2.3

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (1) = \frac{1}{e}$

Paso 12.2.4

La respuesta final es $\frac{1}{e}$ .

$y = \frac{1}{e}$

Paso 13

Estos son los extremos locales de $f (x) = x e^{- x}$ .

$(1, \frac{1}{e})$ es un máximo local

Paso 14