Cálculo Ejemplos

Hallar los máximos y mínimos locales y=x^3-4x^2-16x+3
Paso 1
Escribe como una función.
Paso 2
Obtén la primera derivada de la función.
Toca para ver más pasos...
Paso 2.1
Diferencia.
Toca para ver más pasos...
Paso 2.1.1
Según la regla de la suma, la derivada de con respecto a es .
Paso 2.1.2
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 2.2
Evalúa .
Toca para ver más pasos...
Paso 2.2.1
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 2.2.2
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 2.2.3
Multiplica por .
Paso 2.3
Evalúa .
Toca para ver más pasos...
Paso 2.3.1
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 2.3.2
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 2.3.3
Multiplica por .
Paso 2.4
Diferencia con la regla de la constante.
Toca para ver más pasos...
Paso 2.4.1
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 2.4.2
Suma y .
Paso 3
Obtén la segunda derivada de la función.
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Paso 3.1
Según la regla de la suma, la derivada de con respecto a es .
Paso 3.2
Evalúa .
Toca para ver más pasos...
Paso 3.2.1
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 3.2.2
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 3.2.3
Multiplica por .
Paso 3.3
Evalúa .
Toca para ver más pasos...
Paso 3.3.1
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 3.3.2
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 3.3.3
Multiplica por .
Paso 3.4
Diferencia con la regla de la constante.
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Paso 3.4.1
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 3.4.2
Suma y .
Paso 4
Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a y resuelve.
Paso 5
Obtén la primera derivada.
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Paso 5.1
Obtén la primera derivada.
Toca para ver más pasos...
Paso 5.1.1
Diferencia.
Toca para ver más pasos...
Paso 5.1.1.1
Según la regla de la suma, la derivada de con respecto a es .
Paso 5.1.1.2
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 5.1.2
Evalúa .
Toca para ver más pasos...
Paso 5.1.2.1
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 5.1.2.2
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 5.1.2.3
Multiplica por .
Paso 5.1.3
Evalúa .
Toca para ver más pasos...
Paso 5.1.3.1
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 5.1.3.2
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 5.1.3.3
Multiplica por .
Paso 5.1.4
Diferencia con la regla de la constante.
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Paso 5.1.4.1
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 5.1.4.2
Suma y .
Paso 5.2
La primera derivada de con respecto a es .
Paso 6
Establece la primera derivada igual a , luego resuelve la ecuación .
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Paso 6.1
Establece la primera derivada igual a .
Paso 6.2
Factoriza por agrupación.
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Paso 6.2.1
Para un polinomio de la forma , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es y cuya suma es .
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Paso 6.2.1.1
Factoriza de .
Paso 6.2.1.2
Reescribe como más
Paso 6.2.1.3
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 6.2.2
Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.
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Paso 6.2.2.1
Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.
Paso 6.2.2.2
Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.
Paso 6.2.3
Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, .
Paso 6.3
Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a , la expresión completa será igual a .
Paso 6.4
Establece igual a y resuelve .
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Paso 6.4.1
Establece igual a .
Paso 6.4.2
Resuelve en .
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Paso 6.4.2.1
Resta de ambos lados de la ecuación.
Paso 6.4.2.2
Divide cada término en por y simplifica.
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Paso 6.4.2.2.1
Divide cada término en por .
Paso 6.4.2.2.2
Simplifica el lado izquierdo.
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Paso 6.4.2.2.2.1
Cancela el factor común de .
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Paso 6.4.2.2.2.1.1
Cancela el factor común.
Paso 6.4.2.2.2.1.2
Divide por .
Paso 6.4.2.2.3
Simplifica el lado derecho.
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Paso 6.4.2.2.3.1
Mueve el negativo al frente de la fracción.
Paso 6.5
Establece igual a y resuelve .
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Paso 6.5.1
Establece igual a .
Paso 6.5.2
Suma a ambos lados de la ecuación.
Paso 6.6
La solución final comprende todos los valores que hacen verdadera.
Paso 7
Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.
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Paso 7.1
El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.
Paso 8
Puntos críticos para evaluar.
Paso 9
Evalúa la segunda derivada en . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.
Paso 10
Evalúa la segunda derivada.
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Paso 10.1
Simplifica cada término.
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Paso 10.1.1
Cancela el factor común de .
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Paso 10.1.1.1
Mueve el signo menos inicial en al numerador.
Paso 10.1.1.2
Factoriza de .
Paso 10.1.1.3
Cancela el factor común.
Paso 10.1.1.4
Reescribe la expresión.
Paso 10.1.2
Multiplica por .
Paso 10.2
Resta de .
Paso 11
es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada
es un máximo local
Paso 12
Obtén el valor de y cuando .
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Paso 12.1
Reemplaza la variable con en la expresión.
Paso 12.2
Simplifica el resultado.
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Paso 12.2.1
Simplifica cada término.
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Paso 12.2.1.1
Usa la regla de la potencia para distribuir el exponente.
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Paso 12.2.1.1.1
Aplica la regla del producto a .
Paso 12.2.1.1.2
Aplica la regla del producto a .
Paso 12.2.1.2
Eleva a la potencia de .
Paso 12.2.1.3
Eleva a la potencia de .
Paso 12.2.1.4
Eleva a la potencia de .
Paso 12.2.1.5
Usa la regla de la potencia para distribuir el exponente.
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Paso 12.2.1.5.1
Aplica la regla del producto a .
Paso 12.2.1.5.2
Aplica la regla del producto a .
Paso 12.2.1.6
Eleva a la potencia de .
Paso 12.2.1.7
Multiplica por .
Paso 12.2.1.8
Eleva a la potencia de .
Paso 12.2.1.9
Eleva a la potencia de .
Paso 12.2.1.10
Multiplica .
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Paso 12.2.1.10.1
Combina y .
Paso 12.2.1.10.2
Multiplica por .
Paso 12.2.1.11
Mueve el negativo al frente de la fracción.
Paso 12.2.1.12
Multiplica .
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Paso 12.2.1.12.1
Multiplica por .
Paso 12.2.1.12.2
Combina y .
Paso 12.2.1.12.3
Multiplica por .
Paso 12.2.2
Obtén el denominador común
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Paso 12.2.2.1
Multiplica por .
Paso 12.2.2.2
Multiplica por .
Paso 12.2.2.3
Multiplica por .
Paso 12.2.2.4
Multiplica por .
Paso 12.2.2.5
Escribe como una fracción con el denominador .
Paso 12.2.2.6
Multiplica por .
Paso 12.2.2.7
Multiplica por .
Paso 12.2.2.8
Reordena los factores de .
Paso 12.2.2.9
Multiplica por .
Paso 12.2.2.10
Multiplica por .
Paso 12.2.3
Combina los numeradores sobre el denominador común.
Paso 12.2.4
Simplifica cada término.
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Paso 12.2.4.1
Multiplica por .
Paso 12.2.4.2
Multiplica por .
Paso 12.2.4.3
Multiplica por .
Paso 12.2.5
Simplifica mediante suma y resta.
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Paso 12.2.5.1
Resta de .
Paso 12.2.5.2
Suma y .
Paso 12.2.5.3
Suma y .
Paso 12.2.6
La respuesta final es .
Paso 13
Evalúa la segunda derivada en . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.
Paso 14
Evalúa la segunda derivada.
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Paso 14.1
Multiplica por .
Paso 14.2
Resta de .
Paso 15
es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.
es un mínimo local
Paso 16
Obtén el valor de y cuando .
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Paso 16.1
Reemplaza la variable con en la expresión.
Paso 16.2
Simplifica el resultado.
Toca para ver más pasos...
Paso 16.2.1
Simplifica cada término.
Toca para ver más pasos...
Paso 16.2.1.1
Eleva a la potencia de .
Paso 16.2.1.2
Eleva a la potencia de .
Paso 16.2.1.3
Multiplica por .
Paso 16.2.1.4
Multiplica por .
Paso 16.2.2
Simplifica mediante suma y resta.
Toca para ver más pasos...
Paso 16.2.2.1
Resta de .
Paso 16.2.2.2
Resta de .
Paso 16.2.2.3
Suma y .
Paso 16.2.3
La respuesta final es .
Paso 17
Estos son los extremos locales de .
es un máximo local
es un mínimo local
Paso 18