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Cálculo Ejemplos
Paso 1
Paso 1.1
Según la regla de la suma, la derivada de con respecto a es .
Paso 1.2
Evalúa .
Paso 1.2.1
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 1.2.2
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 1.2.3
Multiplica por .
Paso 1.3
Evalúa .
Paso 1.3.1
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 1.3.2
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 1.3.3
Multiplica por .
Paso 1.4
Diferencia con la regla de la constante.
Paso 1.4.1
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 1.4.2
Suma y .
Paso 2
Paso 2.1
Según la regla de la suma, la derivada de con respecto a es .
Paso 2.2
Evalúa .
Paso 2.2.1
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 2.2.2
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 2.2.3
Multiplica por .
Paso 2.3
Evalúa .
Paso 2.3.1
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 2.3.2
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 2.3.3
Multiplica por .
Paso 3
Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a y resuelve.
Paso 4
Paso 4.1
Obtén la primera derivada.
Paso 4.1.1
Según la regla de la suma, la derivada de con respecto a es .
Paso 4.1.2
Evalúa .
Paso 4.1.2.1
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 4.1.2.2
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 4.1.2.3
Multiplica por .
Paso 4.1.3
Evalúa .
Paso 4.1.3.1
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 4.1.3.2
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 4.1.3.3
Multiplica por .
Paso 4.1.4
Diferencia con la regla de la constante.
Paso 4.1.4.1
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 4.1.4.2
Suma y .
Paso 4.2
La primera derivada de con respecto a es .
Paso 5
Paso 5.1
Establece la primera derivada igual a .
Paso 5.2
Factoriza de .
Paso 5.2.1
Factoriza de .
Paso 5.2.2
Factoriza de .
Paso 5.2.3
Factoriza de .
Paso 5.3
Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a , la expresión completa será igual a .
Paso 5.4
Establece igual a .
Paso 5.5
Establece igual a y resuelve .
Paso 5.5.1
Establece igual a .
Paso 5.5.2
Resuelve en .
Paso 5.5.2.1
Suma a ambos lados de la ecuación.
Paso 5.5.2.2
Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.
Paso 5.5.2.3
La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.
Paso 5.5.2.3.1
Primero, usa el valor positivo de para obtener la primera solución.
Paso 5.5.2.3.2
Luego, usa el valor negativo de para obtener la segunda solución.
Paso 5.5.2.3.3
La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.
Paso 5.6
La solución final comprende todos los valores que hacen verdadera.
Paso 6
Paso 6.1
El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.
Paso 7
Puntos críticos para evaluar.
Paso 8
Evalúa la segunda derivada en . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.
Paso 9
Paso 9.1
Simplifica cada término.
Paso 9.1.1
Elevar a cualquier potencia positiva da como resultado .
Paso 9.1.2
Multiplica por .
Paso 9.2
Resta de .
Paso 10
es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada
es un máximo local
Paso 11
Paso 11.1
Reemplaza la variable con en la expresión.
Paso 11.2
Simplifica el resultado.
Paso 11.2.1
Simplifica cada término.
Paso 11.2.1.1
Elevar a cualquier potencia positiva da como resultado .
Paso 11.2.1.2
Multiplica por .
Paso 11.2.1.3
Elevar a cualquier potencia positiva da como resultado .
Paso 11.2.1.4
Multiplica por .
Paso 11.2.2
Simplifica mediante la adición de números.
Paso 11.2.2.1
Suma y .
Paso 11.2.2.2
Suma y .
Paso 11.2.3
La respuesta final es .
Paso 12
Evalúa la segunda derivada en . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.
Paso 13
Paso 13.1
Simplifica cada término.
Paso 13.1.1
Reescribe como .
Paso 13.1.1.1
Usa para reescribir como .
Paso 13.1.1.2
Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, .
Paso 13.1.1.3
Combina y .
Paso 13.1.1.4
Cancela el factor común de .
Paso 13.1.1.4.1
Cancela el factor común.
Paso 13.1.1.4.2
Reescribe la expresión.
Paso 13.1.1.5
Evalúa el exponente.
Paso 13.1.2
Multiplica por .
Paso 13.2
Resta de .
Paso 14
es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.
es un mínimo local
Paso 15
Paso 15.1
Reemplaza la variable con en la expresión.
Paso 15.2
Simplifica el resultado.
Paso 15.2.1
Simplifica cada término.
Paso 15.2.1.1
Reescribe como .
Paso 15.2.1.1.1
Usa para reescribir como .
Paso 15.2.1.1.2
Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, .
Paso 15.2.1.1.3
Combina y .
Paso 15.2.1.1.4
Cancela el factor común de y .
Paso 15.2.1.1.4.1
Factoriza de .
Paso 15.2.1.1.4.2
Cancela los factores comunes.
Paso 15.2.1.1.4.2.1
Factoriza de .
Paso 15.2.1.1.4.2.2
Cancela el factor común.
Paso 15.2.1.1.4.2.3
Reescribe la expresión.
Paso 15.2.1.1.4.2.4
Divide por .
Paso 15.2.1.2
Eleva a la potencia de .
Paso 15.2.1.3
Multiplica por .
Paso 15.2.1.4
Reescribe como .
Paso 15.2.1.4.1
Usa para reescribir como .
Paso 15.2.1.4.2
Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, .
Paso 15.2.1.4.3
Combina y .
Paso 15.2.1.4.4
Cancela el factor común de .
Paso 15.2.1.4.4.1
Cancela el factor común.
Paso 15.2.1.4.4.2
Reescribe la expresión.
Paso 15.2.1.4.5
Evalúa el exponente.
Paso 15.2.1.5
Multiplica por .
Paso 15.2.2
Simplifica mediante suma y resta.
Paso 15.2.2.1
Resta de .
Paso 15.2.2.2
Suma y .
Paso 15.2.3
La respuesta final es .
Paso 16
Evalúa la segunda derivada en . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.
Paso 17
Paso 17.1
Simplifica cada término.
Paso 17.1.1
Aplica la regla del producto a .
Paso 17.1.2
Eleva a la potencia de .
Paso 17.1.3
Multiplica por .
Paso 17.1.4
Reescribe como .
Paso 17.1.4.1
Usa para reescribir como .
Paso 17.1.4.2
Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, .
Paso 17.1.4.3
Combina y .
Paso 17.1.4.4
Cancela el factor común de .
Paso 17.1.4.4.1
Cancela el factor común.
Paso 17.1.4.4.2
Reescribe la expresión.
Paso 17.1.4.5
Evalúa el exponente.
Paso 17.1.5
Multiplica por .
Paso 17.2
Resta de .
Paso 18
es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.
es un mínimo local
Paso 19
Paso 19.1
Reemplaza la variable con en la expresión.
Paso 19.2
Simplifica el resultado.
Paso 19.2.1
Simplifica cada término.
Paso 19.2.1.1
Aplica la regla del producto a .
Paso 19.2.1.2
Eleva a la potencia de .
Paso 19.2.1.3
Multiplica por .
Paso 19.2.1.4
Reescribe como .
Paso 19.2.1.4.1
Usa para reescribir como .
Paso 19.2.1.4.2
Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, .
Paso 19.2.1.4.3
Combina y .
Paso 19.2.1.4.4
Cancela el factor común de y .
Paso 19.2.1.4.4.1
Factoriza de .
Paso 19.2.1.4.4.2
Cancela los factores comunes.
Paso 19.2.1.4.4.2.1
Factoriza de .
Paso 19.2.1.4.4.2.2
Cancela el factor común.
Paso 19.2.1.4.4.2.3
Reescribe la expresión.
Paso 19.2.1.4.4.2.4
Divide por .
Paso 19.2.1.5
Eleva a la potencia de .
Paso 19.2.1.6
Multiplica por .
Paso 19.2.1.7
Aplica la regla del producto a .
Paso 19.2.1.8
Eleva a la potencia de .
Paso 19.2.1.9
Multiplica por .
Paso 19.2.1.10
Reescribe como .
Paso 19.2.1.10.1
Usa para reescribir como .
Paso 19.2.1.10.2
Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, .
Paso 19.2.1.10.3
Combina y .
Paso 19.2.1.10.4
Cancela el factor común de .
Paso 19.2.1.10.4.1
Cancela el factor común.
Paso 19.2.1.10.4.2
Reescribe la expresión.
Paso 19.2.1.10.5
Evalúa el exponente.
Paso 19.2.1.11
Multiplica por .
Paso 19.2.2
Simplifica mediante suma y resta.
Paso 19.2.2.1
Resta de .
Paso 19.2.2.2
Suma y .
Paso 19.2.3
La respuesta final es .
Paso 20
Estos son los extremos locales de .
es un máximo local
es un mínimo local
es un mínimo local
Paso 21