Cálculo Ejemplos

$f (x) = x + \cos (x)$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + \cos (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 1.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$1 - \sin (x)$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - \sin (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Paso 2.1.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \sin (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{d}{d x} \sin (x)$

Paso 2.2.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$f'' (x) = 0 - \cos (x)$

Paso 2.3

Resta $\cos (x)$ de $0$ .

$f'' (x) = - \cos (x)$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$1 - \sin (x) = 0$

Paso 4

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- \sin (x) = - 1$

Paso 5

Divide cada término en $- \sin (x) = - 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 5.1

Divide cada término en $- \sin (x) = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 5.2.2

Divide $\sin (x)$ por $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.1

Divide $- 1$ por $- 1$ .

$\sin (x) = 1$

Paso 6

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (1)$

Paso 7

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.1

El valor exacto de $\arcsin (1)$ es $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Paso 8

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = π - \frac{π}{2}$

Paso 9

Simplifica $π - \frac{π}{2}$ .

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Paso 9.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 9.2

Combina fracciones.

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Paso 9.2.1

Combina $π$ y $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 9.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 9.3

Simplifica el numerador.

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Paso 9.3.1

Mueve $2$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Paso 9.3.2

Resta $π$ de $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Paso 10

La solución a la ecuación $x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}, \frac{π}{2}$

Paso 11

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{π}{2}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- \cos (\frac{π}{2})$

Paso 12

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 12.1

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{2})$ es $0$ .

$- 0$

Paso 12.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$0$

Paso 13

Como hay al menos un punto con $0$ o segunda derivada indefinida, aplica la prueba de la primera derivada.

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Paso 13.1

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la primera derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, \frac{π}{2}) \cup (\frac{π}{2}, \infty)$

Paso 13.2

Sustituye cualquier número, como $0$ , del intervalo $(- \infty, \frac{π}{2})$ en la primera derivada $1 - \sin (x)$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 13.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f' (0) = 1 - \sin (0)$

Paso 13.2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 13.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 13.2.2.1.1

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$f' (0) = 1 - 0$

Paso 13.2.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$f' (0) = 1 + 0$

Paso 13.2.2.2

Suma $1$ y $0$ .

$f' (0) = 1$

Paso 13.2.2.3

La respuesta final es $1$ .

$1$

Paso 13.3

Sustituye cualquier número, como $4$ , del intervalo $(\frac{π}{2}, \infty)$ en la primera derivada $1 - \sin (x)$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 13.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$f' (4) = 1 - \sin (4)$

Paso 13.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 13.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 13.3.2.1.1

Evalúa $\sin (4)$ .

$f' (4) = 1 + 0.75680249$

Paso 13.3.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $- 0.75680249$ .

$f' (4) = 1 + 0.75680249$

Paso 13.3.2.2

Suma $1$ y $0.75680249$ .

$f' (4) = 1.75680249$

Paso 13.3.2.3

La respuesta final es $1.75680249$ .

$1.75680249$

Paso 13.4

Como la primera derivada no cambió los signos alrededor de $x = \frac{π}{2}$ , no es un máximo local ni un mínimo local.

No es un máximo local ni un mínimo local

Paso 13.5

No se obtuvieron máximos ni mínimos locales para $f (x) = x + \cos (x)$ .

No hay máximos ni mínimos locales

Paso 14