Cálculo Ejemplos

$f (x) = 8 e^{x} + 4 \ln (x^{3})$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $8 e^{x} + 4 \ln (x^{3})$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [8 e^{x}] + \frac{d}{d x} [4 \ln (x^{3})]$ .

$\frac{d}{d x} [8 e^{x}] + \frac{d}{d x} [4 \ln (x^{3})]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [8 e^{x}]$ .

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Paso 2.1

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 e^{x}$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [4 \ln (x^{3})]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$8 e^{x} + \frac{d}{d x} [4 \ln (x^{3})]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 \ln (x^{3})]$ .

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Paso 3.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 \ln (x^{3})$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [\ln (x^{3})]$ .

$8 e^{x} + 4 \frac{d}{d x} [\ln (x^{3})]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x^{3}$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{3}$ .

$8 e^{x} + 4 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 3.2.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$8 e^{x} + 4 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{3}$ .

$8 e^{x} + 4 (\frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$8 e^{x} + 4 (\frac{1}{x^{3}} (3 x^{2}))$

Paso 3.4

Combina $3$ y $\frac{1}{x^{3}}$ .

$8 e^{x} + 4 (\frac{3}{x^{3}} x^{2})$

Paso 3.5

Combina $\frac{3}{x^{3}}$ y $x^{2}$ .

$8 e^{x} + 4 \frac{3 x^{2}}{x^{3}}$

Paso 3.6

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x^{3}$ .

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Paso 3.6.1

Factoriza $x^{2}$ de $3 x^{2}$ .

$8 e^{x} + 4 \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{3}}$

Paso 3.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.6.2.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{3}$ .

$8 e^{x} + 4 \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} x}$

Paso 3.6.2.2

Cancela el factor común.

$8 e^{x} + 4 \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} x}$

Paso 3.6.2.3

Reescribe la expresión.

$8 e^{x} + 4 \frac{3}{x}$

Paso 3.7

Combina $4$ y $\frac{3}{x}$ .

$8 e^{x} + \frac{4 \cdot 3}{x}$

Paso 3.8

Multiplica $4$ por $3$ .

$8 e^{x} + \frac{12}{x}$

Paso 4

Reordena los términos.

$\frac{12}{x} + 8 e^{x}$