Cálculo Ejemplos

Hallar los máximos y mínimos locales f(x)=8/3x^3-2x+1/3
Paso 1
Obtén la primera derivada de la función.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.1
Según la regla de la suma, la derivada de con respecto a es .
Paso 1.2
Evalúa .
Toca para ver más pasos...
Paso 1.2.1
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 1.2.2
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 1.2.3
Combina y .
Paso 1.2.4
Multiplica por .
Paso 1.2.5
Combina y .
Paso 1.2.6
Cancela el factor común de y .
Toca para ver más pasos...
Paso 1.2.6.1
Factoriza de .
Paso 1.2.6.2
Cancela los factores comunes.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.2.6.2.1
Factoriza de .
Paso 1.2.6.2.2
Cancela el factor común.
Paso 1.2.6.2.3
Reescribe la expresión.
Paso 1.2.6.2.4
Divide por .
Paso 1.3
Evalúa .
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Paso 1.3.1
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 1.3.2
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 1.3.3
Multiplica por .
Paso 1.4
Diferencia con la regla de la constante.
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Paso 1.4.1
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 1.4.2
Suma y .
Paso 2
Obtén la segunda derivada de la función.
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Paso 2.1
Según la regla de la suma, la derivada de con respecto a es .
Paso 2.2
Evalúa .
Toca para ver más pasos...
Paso 2.2.1
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 2.2.2
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 2.2.3
Multiplica por .
Paso 2.3
Diferencia con la regla de la constante.
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Paso 2.3.1
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 2.3.2
Suma y .
Paso 3
Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a y resuelve.
Paso 4
Obtén la primera derivada.
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Paso 4.1
Obtén la primera derivada.
Toca para ver más pasos...
Paso 4.1.1
Según la regla de la suma, la derivada de con respecto a es .
Paso 4.1.2
Evalúa .
Toca para ver más pasos...
Paso 4.1.2.1
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 4.1.2.2
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 4.1.2.3
Combina y .
Paso 4.1.2.4
Multiplica por .
Paso 4.1.2.5
Combina y .
Paso 4.1.2.6
Cancela el factor común de y .
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Paso 4.1.2.6.1
Factoriza de .
Paso 4.1.2.6.2
Cancela los factores comunes.
Toca para ver más pasos...
Paso 4.1.2.6.2.1
Factoriza de .
Paso 4.1.2.6.2.2
Cancela el factor común.
Paso 4.1.2.6.2.3
Reescribe la expresión.
Paso 4.1.2.6.2.4
Divide por .
Paso 4.1.3
Evalúa .
Toca para ver más pasos...
Paso 4.1.3.1
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 4.1.3.2
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 4.1.3.3
Multiplica por .
Paso 4.1.4
Diferencia con la regla de la constante.
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Paso 4.1.4.1
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 4.1.4.2
Suma y .
Paso 4.2
La primera derivada de con respecto a es .
Paso 5
Establece la primera derivada igual a , luego resuelve la ecuación .
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Paso 5.1
Establece la primera derivada igual a .
Paso 5.2
Suma a ambos lados de la ecuación.
Paso 5.3
Divide cada término en por y simplifica.
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Paso 5.3.1
Divide cada término en por .
Paso 5.3.2
Simplifica el lado izquierdo.
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Paso 5.3.2.1
Cancela el factor común de .
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Paso 5.3.2.1.1
Cancela el factor común.
Paso 5.3.2.1.2
Divide por .
Paso 5.3.3
Simplifica el lado derecho.
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Paso 5.3.3.1
Cancela el factor común de y .
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Paso 5.3.3.1.1
Factoriza de .
Paso 5.3.3.1.2
Cancela los factores comunes.
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Paso 5.3.3.1.2.1
Factoriza de .
Paso 5.3.3.1.2.2
Cancela el factor común.
Paso 5.3.3.1.2.3
Reescribe la expresión.
Paso 5.4
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
Paso 5.5
Simplifica .
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Paso 5.5.1
Reescribe como .
Paso 5.5.2
Cualquier raíz de es .
Paso 5.5.3
Simplifica el denominador.
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Paso 5.5.3.1
Reescribe como .
Paso 5.5.3.2
Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.
Paso 5.6
La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.
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Paso 5.6.1
Primero, usa el valor positivo de para obtener la primera solución.
Paso 5.6.2
Luego, usa el valor negativo de para obtener la segunda solución.
Paso 5.6.3
La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.
Paso 6
Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.
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Paso 6.1
El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.
Paso 7
Puntos críticos para evaluar.
Paso 8
Evalúa la segunda derivada en . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.
Paso 9
Cancela el factor común de .
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Paso 9.1
Factoriza de .
Paso 9.2
Cancela el factor común.
Paso 9.3
Reescribe la expresión.
Paso 10
es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.
es un mínimo local
Paso 11
Obtén el valor de y cuando .
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Paso 11.1
Reemplaza la variable con en la expresión.
Paso 11.2
Simplifica el resultado.
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Paso 11.2.1
Simplifica cada término.
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Paso 11.2.1.1
Aplica la regla del producto a .
Paso 11.2.1.2
Combinar.
Paso 11.2.1.3
Uno elevado a cualquier potencia es uno.
Paso 11.2.1.4
Eleva a la potencia de .
Paso 11.2.1.5
Multiplica por .
Paso 11.2.1.6
Multiplica por .
Paso 11.2.1.7
Cancela el factor común de y .
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Paso 11.2.1.7.1
Factoriza de .
Paso 11.2.1.7.2
Cancela los factores comunes.
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Paso 11.2.1.7.2.1
Factoriza de .
Paso 11.2.1.7.2.2
Cancela el factor común.
Paso 11.2.1.7.2.3
Reescribe la expresión.
Paso 11.2.1.8
Cancela el factor común de .
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Paso 11.2.1.8.1
Factoriza de .
Paso 11.2.1.8.2
Cancela el factor común.
Paso 11.2.1.8.3
Reescribe la expresión.
Paso 11.2.2
Combina fracciones.
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Paso 11.2.2.1
Combina los numeradores sobre el denominador común.
Paso 11.2.2.2
Suma y .
Paso 11.2.3
Para escribir como una fracción con un denominador común, multiplica por .
Paso 11.2.4
Combina y .
Paso 11.2.5
Combina los numeradores sobre el denominador común.
Paso 11.2.6
Simplifica el numerador.
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Paso 11.2.6.1
Multiplica por .
Paso 11.2.6.2
Suma y .
Paso 11.2.7
Mueve el negativo al frente de la fracción.
Paso 11.2.8
La respuesta final es .
Paso 12
Evalúa la segunda derivada en . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.
Paso 13
Evalúa la segunda derivada.
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Paso 13.1
Cancela el factor común de .
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Paso 13.1.1
Mueve el signo menos inicial en al numerador.
Paso 13.1.2
Factoriza de .
Paso 13.1.3
Cancela el factor común.
Paso 13.1.4
Reescribe la expresión.
Paso 13.2
Multiplica por .
Paso 14
es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada
es un máximo local
Paso 15
Obtén el valor de y cuando .
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Paso 15.1
Reemplaza la variable con en la expresión.
Paso 15.2
Simplifica el resultado.
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Paso 15.2.1
Simplifica cada término.
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Paso 15.2.1.1
Usa la regla de la potencia para distribuir el exponente.
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Paso 15.2.1.1.1
Aplica la regla del producto a .
Paso 15.2.1.1.2
Aplica la regla del producto a .
Paso 15.2.1.2
Eleva a la potencia de .
Paso 15.2.1.3
Uno elevado a cualquier potencia es uno.
Paso 15.2.1.4
Eleva a la potencia de .
Paso 15.2.1.5
Cancela el factor común de .
Toca para ver más pasos...
Paso 15.2.1.5.1
Mueve el signo menos inicial en al numerador.
Paso 15.2.1.5.2
Cancela el factor común.
Paso 15.2.1.5.3
Reescribe la expresión.
Paso 15.2.1.6
Combina y .
Paso 15.2.1.7
Mueve el negativo al frente de la fracción.
Paso 15.2.1.8
Cancela el factor común de .
Toca para ver más pasos...
Paso 15.2.1.8.1
Mueve el signo menos inicial en al numerador.
Paso 15.2.1.8.2
Factoriza de .
Paso 15.2.1.8.3
Cancela el factor común.
Paso 15.2.1.8.4
Reescribe la expresión.
Paso 15.2.1.9
Multiplica por .
Paso 15.2.2
Combina fracciones.
Toca para ver más pasos...
Paso 15.2.2.1
Combina los numeradores sobre el denominador común.
Paso 15.2.2.2
Simplifica la expresión.
Toca para ver más pasos...
Paso 15.2.2.2.1
Suma y .
Paso 15.2.2.2.2
Divide por .
Paso 15.2.2.2.3
Suma y .
Paso 15.2.3
La respuesta final es .
Paso 16
Estos son los extremos locales de .
es un mínimo local
es un máximo local
Paso 17