Cálculo Ejemplos

Hallar los máximos y mínimos locales f(x)=e^(1-2x^2)
Paso 1
Obtén la primera derivada de la función.
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Paso 1.1
Diferencia con la regla de la cadena, que establece que es donde y .
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Paso 1.1.1
Para aplicar la regla de la cadena, establece como .
Paso 1.1.2
Diferencia con la regla exponencial, que establece que es donde = .
Paso 1.1.3
Reemplaza todos los casos de con .
Paso 1.2
Diferencia.
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Paso 1.2.1
Según la regla de la suma, la derivada de con respecto a es .
Paso 1.2.2
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 1.2.3
Suma y .
Paso 1.2.4
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 1.2.5
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 1.2.6
Multiplica por .
Paso 1.3
Simplifica.
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Paso 1.3.1
Reordena los factores de .
Paso 1.3.2
Reordena los factores en .
Paso 2
Obtén la segunda derivada de la función.
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Paso 2.1
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 2.2
Diferencia con la regla del producto, que establece que es donde y .
Paso 2.3
Diferencia con la regla de la cadena, que establece que es donde y .
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Paso 2.3.1
Para aplicar la regla de la cadena, establece como .
Paso 2.3.2
Diferencia con la regla exponencial, que establece que es donde = .
Paso 2.3.3
Reemplaza todos los casos de con .
Paso 2.4
Diferencia.
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Paso 2.4.1
Según la regla de la suma, la derivada de con respecto a es .
Paso 2.4.2
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 2.4.3
Suma y .
Paso 2.4.4
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 2.4.5
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 2.4.6
Multiplica por .
Paso 2.5
Eleva a la potencia de .
Paso 2.6
Eleva a la potencia de .
Paso 2.7
Usa la regla de la potencia para combinar exponentes.
Paso 2.8
Simplifica la expresión.
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Paso 2.8.1
Suma y .
Paso 2.8.2
Mueve a la izquierda de .
Paso 2.9
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 2.10
Multiplica por .
Paso 2.11
Simplifica.
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Paso 2.11.1
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 2.11.2
Multiplica por .
Paso 2.11.3
Reordena los términos.
Paso 2.11.4
Reordena los factores en .
Paso 3
Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a y resuelve.
Paso 4
Obtén la primera derivada.
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Paso 4.1
Obtén la primera derivada.
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Paso 4.1.1
Diferencia con la regla de la cadena, que establece que es donde y .
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Paso 4.1.1.1
Para aplicar la regla de la cadena, establece como .
Paso 4.1.1.2
Diferencia con la regla exponencial, que establece que es donde = .
Paso 4.1.1.3
Reemplaza todos los casos de con .
Paso 4.1.2
Diferencia.
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Paso 4.1.2.1
Según la regla de la suma, la derivada de con respecto a es .
Paso 4.1.2.2
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 4.1.2.3
Suma y .
Paso 4.1.2.4
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 4.1.2.5
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 4.1.2.6
Multiplica por .
Paso 4.1.3
Simplifica.
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Paso 4.1.3.1
Reordena los factores de .
Paso 4.1.3.2
Reordena los factores en .
Paso 4.2
La primera derivada de con respecto a es .
Paso 5
Establece la primera derivada igual a , luego resuelve la ecuación .
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Paso 5.1
Establece la primera derivada igual a .
Paso 5.2
Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a , la expresión completa será igual a .
Paso 5.3
Establece igual a .
Paso 5.4
Establece igual a y resuelve .
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Paso 5.4.1
Establece igual a .
Paso 5.4.2
Resuelve en .
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Paso 5.4.2.1
Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.
Paso 5.4.2.2
La ecuación no puede resolverse porque es indefinida.
Indefinida
Paso 5.4.2.3
No hay soluciones para
No hay solución
No hay solución
No hay solución
Paso 5.5
La solución final comprende todos los valores que hacen verdadera.
Paso 6
Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.
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Paso 6.1
El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.
Paso 7
Puntos críticos para evaluar.
Paso 8
Evalúa la segunda derivada en . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.
Paso 9
Evalúa la segunda derivada.
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Paso 9.1
Simplifica cada término.
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Paso 9.1.1
Elevar a cualquier potencia positiva da como resultado .
Paso 9.1.2
Multiplica por .
Paso 9.1.3
Simplifica cada término.
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Paso 9.1.3.1
Elevar a cualquier potencia positiva da como resultado .
Paso 9.1.3.2
Multiplica por .
Paso 9.1.4
Suma y .
Paso 9.1.5
Simplifica.
Paso 9.1.6
Multiplica por .
Paso 9.1.7
Simplifica cada término.
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Paso 9.1.7.1
Elevar a cualquier potencia positiva da como resultado .
Paso 9.1.7.2
Multiplica por .
Paso 9.1.8
Suma y .
Paso 9.1.9
Simplifica.
Paso 9.2
Resta de .
Paso 10
es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada
es un máximo local
Paso 11
Obtén el valor de y cuando .
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Paso 11.1
Reemplaza la variable con en la expresión.
Paso 11.2
Simplifica el resultado.
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Paso 11.2.1
Simplifica cada término.
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Paso 11.2.1.1
Elevar a cualquier potencia positiva da como resultado .
Paso 11.2.1.2
Multiplica por .
Paso 11.2.2
Suma y .
Paso 11.2.3
La respuesta final es .
Paso 12
Estos son los extremos locales de .
es un máximo local
Paso 13