Cálculo Ejemplos

Hallar los máximos y mínimos locales f(x) = cube root of x-1
Paso 1
Obtén la primera derivada de la función.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.1
Usa para reescribir como .
Paso 1.2
Diferencia con la regla de la cadena, que establece que es donde y .
Toca para ver más pasos...
Paso 1.2.1
Para aplicar la regla de la cadena, establece como .
Paso 1.2.2
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 1.2.3
Reemplaza todos los casos de con .
Paso 1.3
Para escribir como una fracción con un denominador común, multiplica por .
Paso 1.4
Combina y .
Paso 1.5
Combina los numeradores sobre el denominador común.
Paso 1.6
Simplifica el numerador.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.6.1
Multiplica por .
Paso 1.6.2
Resta de .
Paso 1.7
Combina fracciones.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.7.1
Mueve el negativo al frente de la fracción.
Paso 1.7.2
Combina y .
Paso 1.7.3
Mueve al denominador mediante la regla del exponente negativo .
Paso 1.8
Según la regla de la suma, la derivada de con respecto a es .
Paso 1.9
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 1.10
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 1.11
Simplifica la expresión.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.11.1
Suma y .
Paso 1.11.2
Multiplica por .
Paso 2
Obtén la segunda derivada de la función.
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Paso 2.1
Diferencia con la regla del múltiplo constante.
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Paso 2.1.1
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 2.1.2
Aplica reglas básicas de exponentes.
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Paso 2.1.2.1
Reescribe como .
Paso 2.1.2.2
Multiplica los exponentes en .
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Paso 2.1.2.2.1
Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, .
Paso 2.1.2.2.2
Multiplica .
Toca para ver más pasos...
Paso 2.1.2.2.2.1
Combina y .
Paso 2.1.2.2.2.2
Multiplica por .
Paso 2.1.2.2.3
Mueve el negativo al frente de la fracción.
Paso 2.2
Diferencia con la regla de la cadena, que establece que es donde y .
Toca para ver más pasos...
Paso 2.2.1
Para aplicar la regla de la cadena, establece como .
Paso 2.2.2
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 2.2.3
Reemplaza todos los casos de con .
Paso 2.3
Para escribir como una fracción con un denominador común, multiplica por .
Paso 2.4
Combina y .
Paso 2.5
Combina los numeradores sobre el denominador común.
Paso 2.6
Simplifica el numerador.
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Paso 2.6.1
Multiplica por .
Paso 2.6.2
Resta de .
Paso 2.7
Combina fracciones.
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Paso 2.7.1
Mueve el negativo al frente de la fracción.
Paso 2.7.2
Combina y .
Paso 2.7.3
Simplifica la expresión.
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Paso 2.7.3.1
Mueve a la izquierda de .
Paso 2.7.3.2
Mueve al denominador mediante la regla del exponente negativo .
Paso 2.7.4
Multiplica por .
Paso 2.7.5
Multiplica por .
Paso 2.8
Según la regla de la suma, la derivada de con respecto a es .
Paso 2.9
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 2.10
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 2.11
Simplifica la expresión.
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Paso 2.11.1
Suma y .
Paso 2.11.2
Multiplica por .
Paso 3
Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a y resuelve.
Paso 4
Obtén la primera derivada.
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Paso 4.1
Obtén la primera derivada.
Toca para ver más pasos...
Paso 4.1.1
Usa para reescribir como .
Paso 4.1.2
Diferencia con la regla de la cadena, que establece que es donde y .
Toca para ver más pasos...
Paso 4.1.2.1
Para aplicar la regla de la cadena, establece como .
Paso 4.1.2.2
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 4.1.2.3
Reemplaza todos los casos de con .
Paso 4.1.3
Para escribir como una fracción con un denominador común, multiplica por .
Paso 4.1.4
Combina y .
Paso 4.1.5
Combina los numeradores sobre el denominador común.
Paso 4.1.6
Simplifica el numerador.
Toca para ver más pasos...
Paso 4.1.6.1
Multiplica por .
Paso 4.1.6.2
Resta de .
Paso 4.1.7
Combina fracciones.
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Paso 4.1.7.1
Mueve el negativo al frente de la fracción.
Paso 4.1.7.2
Combina y .
Paso 4.1.7.3
Mueve al denominador mediante la regla del exponente negativo .
Paso 4.1.8
Según la regla de la suma, la derivada de con respecto a es .
Paso 4.1.9
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 4.1.10
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 4.1.11
Simplifica la expresión.
Toca para ver más pasos...
Paso 4.1.11.1
Suma y .
Paso 4.1.11.2
Multiplica por .
Paso 4.2
La primera derivada de con respecto a es .
Paso 5
Establece la primera derivada igual a , luego resuelve la ecuación .
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Paso 5.1
Establece la primera derivada igual a .
Paso 5.2
Establece el numerador igual a cero.
Paso 5.3
Como , no hay soluciones.
No hay solución
No hay solución
Paso 6
Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.
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Paso 6.1
Aplica la regla para reescribir la exponenciación como un radical.
Paso 6.2
Establece el denominador en igual que para obtener el lugar donde no está definida la expresión.
Paso 6.3
Resuelve
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Paso 6.3.1
Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cubo ambos lados de la ecuación.
Paso 6.3.2
Simplifica cada lado de la ecuación.
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Paso 6.3.2.1
Usa para reescribir como .
Paso 6.3.2.2
Simplifica el lado izquierdo.
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Paso 6.3.2.2.1
Simplifica .
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Paso 6.3.2.2.1.1
Aplica la regla del producto a .
Paso 6.3.2.2.1.2
Eleva a la potencia de .
Paso 6.3.2.2.1.3
Multiplica los exponentes en .
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Paso 6.3.2.2.1.3.1
Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, .
Paso 6.3.2.2.1.3.2
Cancela el factor común de .
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Paso 6.3.2.2.1.3.2.1
Cancela el factor común.
Paso 6.3.2.2.1.3.2.2
Reescribe la expresión.
Paso 6.3.2.3
Simplifica el lado derecho.
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Paso 6.3.2.3.1
Elevar a cualquier potencia positiva da como resultado .
Paso 6.3.3
Resuelve
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Paso 6.3.3.1
Divide cada término en por y simplifica.
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Paso 6.3.3.1.1
Divide cada término en por .
Paso 6.3.3.1.2
Simplifica el lado izquierdo.
Toca para ver más pasos...
Paso 6.3.3.1.2.1
Cancela el factor común de .
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Paso 6.3.3.1.2.1.1
Cancela el factor común.
Paso 6.3.3.1.2.1.2
Divide por .
Paso 6.3.3.1.3
Simplifica el lado derecho.
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Paso 6.3.3.1.3.1
Divide por .
Paso 6.3.3.2
Establece igual a .
Paso 6.3.3.3
Suma a ambos lados de la ecuación.
Paso 7
Puntos críticos para evaluar.
Paso 8
Evalúa la segunda derivada en . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.
Paso 9
Evalúa la segunda derivada.
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Paso 9.1
Simplifica la expresión.
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Paso 9.1.1
Resta de .
Paso 9.1.2
Reescribe como .
Paso 9.1.3
Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, .
Paso 9.2
Cancela el factor común de .
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Paso 9.2.1
Cancela el factor común.
Paso 9.2.2
Reescribe la expresión.
Paso 9.3
Simplifica la expresión.
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Paso 9.3.1
Elevar a cualquier potencia positiva da como resultado .
Paso 9.3.2
Multiplica por .
Paso 9.3.3
La expresión contiene una división por . La expresión es indefinida.
Indefinida
Paso 9.4
La expresión contiene una división por . La expresión es indefinida.
Indefinida
Indefinida
Paso 10
Como hay al menos un punto con o segunda derivada indefinida, aplica la prueba de la primera derivada.
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Paso 10.1
Divide en intervalos separados alrededor de los valores de que hacen que la primera derivada sea o indefinida.
Paso 10.2
Sustituye cualquier número, como , del intervalo en la primera derivada para comprobar si el resultado es negativo o positivo.
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Paso 10.2.1
Reemplaza la variable con en la expresión.
Paso 10.2.2
Simplifica el resultado.
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Paso 10.2.2.1
Simplifica el denominador.
Toca para ver más pasos...
Paso 10.2.2.1.1
Resta de .
Paso 10.2.2.1.2
Reescribe como .
Paso 10.2.2.1.3
Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, .
Paso 10.2.2.1.4
Cancela el factor común de .
Toca para ver más pasos...
Paso 10.2.2.1.4.1
Cancela el factor común.
Paso 10.2.2.1.4.2
Reescribe la expresión.
Paso 10.2.2.1.5
Eleva a la potencia de .
Paso 10.2.2.2
Multiplica por .
Paso 10.2.2.3
La respuesta final es .
Paso 10.3
Sustituye cualquier número, como , del intervalo en la primera derivada para comprobar si el resultado es negativo o positivo.
Toca para ver más pasos...
Paso 10.3.1
Reemplaza la variable con en la expresión.
Paso 10.3.2
Simplifica el resultado.
Toca para ver más pasos...
Paso 10.3.2.1
Resta de .
Paso 10.3.2.2
Multiplica por sumando los exponentes.
Toca para ver más pasos...
Paso 10.3.2.2.1
Multiplica por .
Toca para ver más pasos...
Paso 10.3.2.2.1.1
Eleva a la potencia de .
Paso 10.3.2.2.1.2
Usa la regla de la potencia para combinar exponentes.
Paso 10.3.2.2.2
Escribe como una fracción con un denominador común.
Paso 10.3.2.2.3
Combina los numeradores sobre el denominador común.
Paso 10.3.2.2.4
Suma y .
Paso 10.3.2.3
La respuesta final es .
Paso 10.4
Como la primera derivada no cambió los signos alrededor de , no es un máximo local ni un mínimo local.
No es un máximo local ni un mínimo local
Paso 10.5
No se obtuvieron máximos ni mínimos locales para .
No hay máximos ni mínimos locales
No hay máximos ni mínimos locales
Paso 11