Cálculo Ejemplos

$f'' (x) = 12 x + \sin (x)$

Paso 1

La función $f' (x)$ puede obtenerse mediante la evaluación de la integral indefinida de la derivada $f'' (x)$ .

$f' (x) = \int f'' (x) d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int 12 x d x + \int \sin (x) d x$

Paso 3

Dado que $12$ es constante con respecto a $x$ , mueve $12$ fuera de la integral.

$12 \int x d x + \int \sin (x) d x$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$12 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int \sin (x) d x$

Paso 5

La integral de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $- \cos (x)$ .

$12 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \cos (x) + C$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$12 (\frac{x^{2}}{2} + C) - \cos (x) + C$

Paso 6.2

Simplifica.

$6 x^{2} - \cos (x) + C$

Paso 7

La función $f'$ si deriva de la integral de la derivada de la función. Esto es válido por el teorema fundamental del cálculo.

$f' (x) = 6 x^{2} - \cos (x) + C$

Paso 8

La función $f (x)$ puede obtenerse mediante la evaluación de la integral indefinida de la derivada $f' (x)$ .

$f (x) = \int f' (x) d x$

Paso 9

Divide la única integral en varias integrales.

$\int 6 x^{2} d x + \int - \cos (x) d x + \int C d x$

Paso 10

Dado que $6$ es constante con respecto a $x$ , mueve $6$ fuera de la integral.

$6 \int x^{2} d x + \int - \cos (x) d x + \int C d x$

Paso 11

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - \cos (x) d x + \int C d x$

Paso 12

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - \int \cos (x) d x + \int C d x$

Paso 13

La integral de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $\sin (x)$ .

$6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - (\sin (x) + C) + \int C d x$

Paso 14

Aplica la regla de la constante.

$6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - (\sin (x) + C) + C x + C$

Paso 15

Simplifica.

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Paso 15.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$6 (\frac{x^{3}}{3} + C) - (\sin (x) + C) + C x + C$

Paso 15.2

Simplifica.

$2 x^{3} - \sin (x) + C x + C$

Paso 16

La función $f$ si deriva de la integral de la derivada de la función. Esto es válido por el teorema fundamental del cálculo.

$f (x) = 2 x^{3} - \sin (x) + C x + C$