Cálculo Ejemplos

$f (x) = (x + 1) (2 x - 1)$

Paso 1

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 2

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int (x + 1) (2 x - 1) d x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int x (2 x - 1) + 1 (2 x - 1) d x$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\int x (2 x) + x \cdot - 1 + 1 (2 x - 1) d x$

Paso 3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\int x (2 x) + x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1 d x$

Paso 3.4

Reordena $x$ y $2$ .

$\int 2 \cdot x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1 d x$

Paso 3.5

Reordena $x$ y $- 1$ .

$\int 2 \cdot x \cdot x - 1 \cdot x + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1 d x$

Paso 3.6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\int 2 (x^{1} x) - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1 d x$

Paso 3.7

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\int 2 (x^{1} x^{1}) - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1 d x$

Paso 3.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int 2 x^{1 + 1} - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1 d x$

Paso 3.9

Suma $1$ y $1$ .

$\int 2 x^{2} - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1 d x$

Paso 3.10

Multiplica $2$ por $1$ .

$\int 2 x^{2} - 1 x + 2 x + 1 \cdot - 1 d x$

Paso 3.11

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\int 2 x^{2} - 1 x + 2 x - 1 d x$

Paso 3.12

Suma $- 1 x$ y $2 x$ .

$\int 2 x^{2} + x - 1 d x$

Paso 4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int 2 x^{2} d x + \int x d x + \int - 1 d x$

Paso 5

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int x^{2} d x + \int x d x + \int - 1 d x$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int x d x + \int - 1 d x$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 1 d x$

Paso 8

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 1 d x$

Paso 9

Aplica la regla de la constante.

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C - x + C$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Simplifica.

$\frac{2 x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} - x + C$

Paso 10.2

Reordena los términos.

$\frac{2}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - x + C$

Paso 11

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = (x + 1) (2 x - 1)$ .

$F (x) =$ $\frac{2}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - x + C$