Cálculo Ejemplos

$f (x) = 6 {(2 x + 1)}^{5} (2)$

Paso 1

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 2

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int 6 {(2 x + 1)}^{5} (2) d x$

Paso 3

Multiplica $2$ por $6$ .

$\int 12 {(2 x + 1)}^{5} d x$

Paso 4

Dado que $12$ es constante con respecto a $x$ , mueve $12$ fuera de la integral.

$12 \int {(2 x + 1)}^{5} d x$

Paso 5

Sea $u = 2 x + 1$ . Entonces $d u = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 5.1

Deja $u = 2 x + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Paso 5.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 5.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 5.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 5.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 5.1.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 5.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 5.1.4.1

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 + 0$

Paso 5.1.4.2

Suma $2$ y $0$ .

$2$

Paso 5.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$12 \int u^{5} \frac{1}{2} d u$

Paso 6

Combina $u^{5}$ y $\frac{1}{2}$ .

$12 \int \frac{u^{5}}{2} d u$

Paso 7

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$12 (\frac{1}{2} \int u^{5} d u)$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $12$ .

$\frac{12}{2} \int u^{5} d u$

Paso 8.2

Cancela el factor común de $12$ y $2$ .

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Paso 8.2.1

Factoriza $2$ de $12$ .

$\frac{2 \cdot 6}{2} \int u^{5} d u$

Paso 8.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 6}{2 (1)} \int u^{5} d u$

Paso 8.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 1} \int u^{5} d u$

Paso 8.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{6}{1} \int u^{5} d u$

Paso 8.2.2.4

Divide $6$ por $1$ .

$6 \int u^{5} d u$

Paso 9

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{5}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$6 (\frac{1}{6} u^{6} + C)$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Reescribe $6 (\frac{1}{6} u^{6} + C)$ como $6 (\frac{1}{6}) u^{6} + C$ .

$6 (\frac{1}{6}) u^{6} + C$

Paso 10.2

Simplifica.

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Paso 10.2.1

Combina $6$ y $\frac{1}{6}$ .

$\frac{6}{6} u^{6} + C$

Paso 10.2.2

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 10.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{6}{6} u^{6} + C$

Paso 10.2.2.2

Reescribe la expresión.

$1 u^{6} + C$

Paso 10.2.3

Multiplica $u^{6}$ por $1$ .

$u^{6} + C$

Paso 11

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x + 1$ .

${(2 x + 1)}^{6} + C$

Paso 12

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = 6 {(2 x + 1)}^{5} (2)$ .

$F (x) =$ ${(2 x + 1)}^{6} + C$