Cálculo Ejemplos

$lim_{h \to 0} \frac{4 {(x + h - 3)}^{2} - 4 {(x - 3)}^{2}}{h}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{h \to 0} 4 {(x + h - 3)}^{2} - 4 {(x - 3)}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} 4 {(x + h - 3)}^{2} - lim_{h \to 0} 4 {(x - 3)}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.1.2

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $h$ .

$\frac{4 lim_{h \to 0} {(x + h - 3)}^{2} - lim_{h \to 0} 4 {(x - 3)}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.1.3

Mueve el exponente $2$ de ${(x + h - 3)}^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{4 {(lim_{h \to 0} x + h - 3)}^{2} - lim_{h \to 0} 4 {(x - 3)}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.1.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$\frac{4 {(lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} 3)}^{2} - lim_{h \to 0} 4 {(x - 3)}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.1.5

Evalúa el límite de $x$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$\frac{4 {(x + lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} 3)}^{2} - lim_{h \to 0} 4 {(x - 3)}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.1.6

Evalúa el límite de $3$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$\frac{4 {(x + lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 3)}^{2} - lim_{h \to 0} 4 {(x - 3)}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.1.7

Evalúa el límite de $4 {(x - 3)}^{2}$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$\frac{4 {(x + lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 3)}^{2} - 4 {(x - 3)}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.2

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$\frac{4 {(x + 0 - 1 \cdot 3)}^{2} - 4 {(x - 3)}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.3.1

Suma $x$ y $0$ .

$\frac{4 {(x - 1 \cdot 3)}^{2} - 4 {(x - 3)}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.3.2

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.3.2.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{4 {(x - 3)}^{2} - 4 {(x - 3)}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.3.2.2

Reescribe ${(x - 3)}^{2}$ como $(x - 3) (x - 3)$ .

$\frac{4 ((x - 3) (x - 3)) - 4 {(x - 3)}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.3.2.3

Expande $(x - 3) (x - 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.1.2.3.2.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 (x (x - 3) - 3 (x - 3)) - 4 {(x - 3)}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.3.2.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3)) - 4 {(x - 3)}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.3.2.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3) - 4 {(x - 3)}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.3.2.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.1.2.3.2.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.3.2.4.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{4 (x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3) - 4 {(x - 3)}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.3.2.4.1.2

Mueve $- 3$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{4 (x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3) - 4 {(x - 3)}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.3.2.4.1.3

Multiplica $- 3$ por $- 3$ .

$\frac{4 (x^{2} - 3 x - 3 x + 9) - 4 {(x - 3)}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.3.2.4.2

Resta $3 x$ de $- 3 x$ .

$\frac{4 (x^{2} - 6 x + 9) - 4 {(x - 3)}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.3.2.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 x^{2} + 4 (- 6 x) + 4 \cdot 9 - 4 {(x - 3)}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.3.2.6

Simplifica.

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Paso 1.1.2.3.2.6.1

Multiplica $- 6$ por $4$ .

$\frac{4 x^{2} - 24 x + 4 \cdot 9 - 4 {(x - 3)}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.3.2.6.2

Multiplica $4$ por $9$ .

$\frac{4 x^{2} - 24 x + 36 - 4 {(x - 3)}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.3.2.7

Reescribe ${(x - 3)}^{2}$ como $(x - 3) (x - 3)$ .

$\frac{4 x^{2} - 24 x + 36 - 4 ((x - 3) (x - 3))}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.3.2.8

Expande $(x - 3) (x - 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.1.2.3.2.8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 x^{2} - 24 x + 36 - 4 (x (x - 3) - 3 (x - 3))}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.3.2.8.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 x^{2} - 24 x + 36 - 4 (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3))}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.3.2.8.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 x^{2} - 24 x + 36 - 4 (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3)}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.3.2.9

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.1.2.3.2.9.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.3.2.9.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{4 x^{2} - 24 x + 36 - 4 (x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3)}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.3.2.9.1.2

Mueve $- 3$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{4 x^{2} - 24 x + 36 - 4 (x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3)}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.3.2.9.1.3

Multiplica $- 3$ por $- 3$ .

$\frac{4 x^{2} - 24 x + 36 - 4 (x^{2} - 3 x - 3 x + 9)}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.3.2.9.2

Resta $3 x$ de $- 3 x$ .

$\frac{4 x^{2} - 24 x + 36 - 4 (x^{2} - 6 x + 9)}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.3.2.10

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 x^{2} - 24 x + 36 - 4 x^{2} - 4 (- 6 x) - 4 \cdot 9}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.3.2.11

Simplifica.

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Paso 1.1.2.3.2.11.1

Multiplica $- 6$ por $- 4$ .

$\frac{4 x^{2} - 24 x + 36 - 4 x^{2} + 24 x - 4 \cdot 9}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.3.2.11.2

Multiplica $- 4$ por $9$ .

$\frac{4 x^{2} - 24 x + 36 - 4 x^{2} + 24 x - 36}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.3.3

Combina los términos opuestos en $4 x^{2} - 24 x + 36 - 4 x^{2} + 24 x - 36$ .

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Paso 1.1.2.3.3.1

Resta $4 x^{2}$ de $4 x^{2}$ .

$\frac{- 24 x + 36 + 0 + 24 x - 36}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.3.3.2

Suma $- 24 x + 36$ y $0$ .

$\frac{- 24 x + 36 + 24 x - 36}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.3.3.3

Suma $- 24 x$ y $24 x$ .

$\frac{0 + 36 - 36}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.3.3.4

Suma $0$ y $36$ .

$\frac{36 - 36}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.3.3.5

Resta $36$ de $36$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{h \to 0} \frac{4 {(x + h - 3)}^{2} - 4 {(x - 3)}^{2}}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [4 {(x + h - 3)}^{2} - 4 {(x - 3)}^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [4 {(x + h - 3)}^{2} - 4 {(x - 3)}^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.2

Reescribe ${(x + h - 3)}^{2}$ como $(x + h - 3) (x + h - 3)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [4 ((x + h - 3) (x + h - 3)) - 4 {(x - 3)}^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.3

Expande $(x + h - 3) (x + h - 3)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [4 (x \cdot x + x h + x \cdot - 3 + h x + h \cdot h + h \cdot - 3 - 3 x - 3 h - 3 \cdot - 3) - 4 {(x - 3)}^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.4

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.4.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [4 (x^{2} + x h + x \cdot - 3 + h x + h \cdot h + h \cdot - 3 - 3 x - 3 h - 3 \cdot - 3) - 4 {(x - 3)}^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.4.2

Mueve $- 3$ a la izquierda de $x$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [4 (x^{2} + x h - 3 \cdot x + h x + h \cdot h + h \cdot - 3 - 3 x - 3 h - 3 \cdot - 3) - 4 {(x - 3)}^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.4.3

Multiplica $h$ por $h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [4 (x^{2} + x h - 3 x + h x + h^{2} + h \cdot - 3 - 3 x - 3 h - 3 \cdot - 3) - 4 {(x - 3)}^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.4.4

Mueve $- 3$ a la izquierda de $h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [4 (x^{2} + x h - 3 x + h x + h^{2} - 3 \cdot h - 3 x - 3 h - 3 \cdot - 3) - 4 {(x - 3)}^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.4.5

Multiplica $- 3$ por $- 3$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [4 (x^{2} + x h - 3 x + h x + h^{2} - 3 h - 3 x - 3 h + 9) - 4 {(x - 3)}^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.5

Suma $x h$ y $h x$ .

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Paso 1.3.5.1

Reordena $x$ y $h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [4 (x^{2} + h x + h x - 3 x + h^{2} - 3 h - 3 x - 3 h + 9) - 4 {(x - 3)}^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.5.2

Suma $h x$ y $h x$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [4 (x^{2} + 2 h x - 3 x + h^{2} - 3 h - 3 x - 3 h + 9) - 4 {(x - 3)}^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.6

Resta $3 x$ de $- 3 x$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [4 (x^{2} + 2 h x + h^{2} - 3 h - 6 x - 3 h + 9) - 4 {(x - 3)}^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.7

Resta $3 h$ de $- 3 h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [4 (x^{2} + 2 h x + h^{2} - 6 h - 6 x + 9) - 4 {(x - 3)}^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.8

Reescribe ${(x - 3)}^{2}$ como $(x - 3) (x - 3)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [4 (x^{2} + 2 h x + h^{2} - 6 h - 6 x + 9) - 4 ((x - 3) (x - 3))]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.9

Expande $(x - 3) (x - 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.3.9.1

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [4 (x^{2} + 2 h x + h^{2} - 6 h - 6 x + 9) - 4 (x (x - 3) - 3 (x - 3))]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.9.2

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [4 (x^{2} + 2 h x + h^{2} - 6 h - 6 x + 9) - 4 (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3))]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.9.3

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [4 (x^{2} + 2 h x + h^{2} - 6 h - 6 x + 9) - 4 (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.10

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.3.10.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.10.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [4 (x^{2} + 2 h x + h^{2} - 6 h - 6 x + 9) - 4 (x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.10.1.2

Mueve $- 3$ a la izquierda de $x$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [4 (x^{2} + 2 h x + h^{2} - 6 h - 6 x + 9) - 4 (x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.10.1.3

Multiplica $- 3$ por $- 3$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [4 (x^{2} + 2 h x + h^{2} - 6 h - 6 x + 9) - 4 (x^{2} - 3 x - 3 x + 9)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.10.2

Resta $3 x$ de $- 3 x$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [4 (x^{2} + 2 h x + h^{2} - 6 h - 6 x + 9) - 4 (x^{2} - 6 x + 9)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.11

Según la regla de la suma, la derivada de $4 (x^{2} + 2 h x + h^{2} - 6 h - 6 x + 9) - 4 (x^{2} - 6 x + 9)$ con respecto a $h$ es $\frac{d}{d h} [4 (x^{2} + 2 h x + h^{2} - 6 h - 6 x + 9)] + \frac{d}{d h} [- 4 (x^{2} - 6 x + 9)]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [4 (x^{2} + 2 h x + h^{2} - 6 h - 6 x + 9)] + \frac{d}{d h} [- 4 (x^{2} - 6 x + 9)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.12

Evalúa $\frac{d}{d h} [4 (x^{2} + 2 h x + h^{2} - 6 h - 6 x + 9)]$ .

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Paso 1.3.12.1

Como $4$ es constante con respecto a $h$ , la derivada de $4 (x^{2} + 2 h x + h^{2} - 6 h - 6 x + 9)$ con respecto a $h$ es $4 \frac{d}{d h} [x^{2} + 2 h x + h^{2} - 6 h - 6 x + 9]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{4 \frac{d}{d h} [x^{2} + 2 h x + h^{2} - 6 h - 6 x + 9] + \frac{d}{d h} [- 4 (x^{2} - 6 x + 9)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.12.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 2 h x + h^{2} - 6 h - 6 x + 9$ con respecto a $h$ es $\frac{d}{d h} [x^{2}] + \frac{d}{d h} [2 h x] + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 6 h] + \frac{d}{d h} [- 6 x] + \frac{d}{d h} [9]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{4 (\frac{d}{d h} [x^{2}] + \frac{d}{d h} [2 h x] + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 6 h] + \frac{d}{d h} [- 6 x] + \frac{d}{d h} [9]) + \frac{d}{d h} [- 4 (x^{2} - 6 x + 9)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.12.3

Como $x^{2}$ es constante con respecto a $h$ , la derivada de $x^{2}$ con respecto a $h$ es $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{4 (0 + \frac{d}{d h} [2 h x] + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 6 h] + \frac{d}{d h} [- 6 x] + \frac{d}{d h} [9]) + \frac{d}{d h} [- 4 (x^{2} - 6 x + 9)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.12.4

Como $2 x$ es constante con respecto a $h$ , la derivada de $2 h x$ con respecto a $h$ es $2 x \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{4 (0 + 2 x \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 6 h] + \frac{d}{d h} [- 6 x] + \frac{d}{d h} [9]) + \frac{d}{d h} [- 4 (x^{2} - 6 x + 9)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.12.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ es $n h^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{4 (0 + 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 6 h] + \frac{d}{d h} [- 6 x] + \frac{d}{d h} [9]) + \frac{d}{d h} [- 4 (x^{2} - 6 x + 9)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.12.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ es $n h^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{4 (0 + 2 x \cdot 1 + 2 h + \frac{d}{d h} [- 6 h] + \frac{d}{d h} [- 6 x] + \frac{d}{d h} [9]) + \frac{d}{d h} [- 4 (x^{2} - 6 x + 9)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.12.7

Como $- 6$ es constante con respecto a $h$ , la derivada de $- 6 h$ con respecto a $h$ es $- 6 \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{4 (0 + 2 x \cdot 1 + 2 h - 6 \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [- 6 x] + \frac{d}{d h} [9]) + \frac{d}{d h} [- 4 (x^{2} - 6 x + 9)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.12.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ es $n h^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{4 (0 + 2 x \cdot 1 + 2 h - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- 6 x] + \frac{d}{d h} [9]) + \frac{d}{d h} [- 4 (x^{2} - 6 x + 9)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.12.9

Como $- 6 x$ es constante con respecto a $h$ , la derivada de $- 6 x$ con respecto a $h$ es $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{4 (0 + 2 x \cdot 1 + 2 h - 6 \cdot 1 + 0 + \frac{d}{d h} [9]) + \frac{d}{d h} [- 4 (x^{2} - 6 x + 9)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.12.10

Como $9$ es constante con respecto a $h$ , la derivada de $9$ con respecto a $h$ es $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{4 (0 + 2 x \cdot 1 + 2 h - 6 \cdot 1 + 0 + 0) + \frac{d}{d h} [- 4 (x^{2} - 6 x + 9)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.12.11

Multiplica $2$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{4 (0 + 2 x + 2 h - 6 \cdot 1 + 0 + 0) + \frac{d}{d h} [- 4 (x^{2} - 6 x + 9)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.12.12

Suma $0$ y $2 x$ .

$lim_{h \to 0} \frac{4 (2 x + 2 h - 6 \cdot 1 + 0 + 0) + \frac{d}{d h} [- 4 (x^{2} - 6 x + 9)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.12.13

Multiplica $- 6$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{4 (2 x + 2 h - 6 + 0 + 0) + \frac{d}{d h} [- 4 (x^{2} - 6 x + 9)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.12.14

Suma $2 x + 2 h - 6$ y $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{4 (2 x + 2 h - 6 + 0) + \frac{d}{d h} [- 4 (x^{2} - 6 x + 9)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.12.15

Suma $2 x + 2 h - 6$ y $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{4 (2 x + 2 h - 6) + \frac{d}{d h} [- 4 (x^{2} - 6 x + 9)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.13

Como $- 4 (x^{2} - 6 x + 9)$ es constante con respecto a $h$ , la derivada de $- 4 (x^{2} - 6 x + 9)$ con respecto a $h$ es $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{4 (2 x + 2 h - 6) + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.14

Simplifica.

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Paso 1.3.14.1

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{h \to 0} \frac{4 (2 x) + 4 (2 h) + 4 \cdot - 6 + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.14.2

Combina los términos.

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Paso 1.3.14.2.1

Multiplica $2$ por $4$ .

$lim_{h \to 0} \frac{8 x + 4 (2 h) + 4 \cdot - 6 + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.14.2.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$lim_{h \to 0} \frac{8 x + 8 h + 4 \cdot - 6 + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.14.2.3

Multiplica $4$ por $- 6$ .

$lim_{h \to 0} \frac{8 x + 8 h - 24 + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.14.2.4

Suma $8 x + 8 h - 24$ y $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{8 x + 8 h - 24}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.14.3

Reordena los términos.

$lim_{h \to 0} \frac{8 h + 8 x - 24}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.15

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ es $n h^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{8 h + 8 x - 24}{1}$

Paso 1.4

Divide $8 h + 8 x - 24$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} 8 h + 8 x - 24$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$lim_{h \to 0} 8 h + lim_{h \to 0} 8 x - lim_{h \to 0} 24$

Paso 2.2

Mueve el término $8$ fuera del límite porque es constante con respecto a $h$ .

$8 lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 8 x - lim_{h \to 0} 24$

Paso 2.3

Evalúa el límite de $8 x$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$8 lim_{h \to 0} h + 8 x - lim_{h \to 0} 24$

Paso 2.4

Evalúa el límite de $24$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$8 lim_{h \to 0} h + 8 x - 1 \cdot 24$

Paso 3

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$8 \cdot 0 + 8 x - 1 \cdot 24$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Multiplica $8$ por $0$ .

$0 + 8 x - 1 \cdot 24$

Paso 4.1.2

Multiplica $- 1$ por $24$ .

$0 + 8 x - 24$

Paso 4.2

Suma $0$ y $8 x$ .

$8 x - 24$