Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (7 x)}{\sin (5 x)}$

Paso 1

Aplica las identidades trigonométricas.

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Paso 1.1

Reescribe $\tan (7 x)$ en términos de senos y cosenos.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin (7 x)}{\cos (7 x)}}{\sin (5 x)}$

Paso 1.2

Reescribe $\frac{\frac{\sin (7 x)}{\cos (7 x)}}{\sin (5 x)}$ como un producto.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (7 x)}{\cos (7 x)} \cdot \frac{1}{\sin (5 x)}$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Convierte de $\frac{\sin (7 x)}{\cos (7 x)}$ a $\tan (7 x)$ .

$lim_{x \to 0} \tan (7 x) \frac{1}{\sin (5 x)}$

Paso 1.3.2

Convierte de $\frac{1}{\sin (5 x)}$ a $\csc (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \tan (7 x) \csc (5 x)$

Paso 2

Considera el límite izquierdo.

$lim_{x \to 0^{-}} \tan (7 x) \csc (5 x)$

Paso 3

Haz una tabla para mostrar el comportamiento de la función $\tan (7 x) \csc (5 x)$ a medida que $x$ se acerca a $0$ desde la izquierda.

$\begin{array}{c} x & \tan (7 x) \csc (5 x) \\ - 0.1 & 1.75687007 \\ - 0.01 & 1.40287561 \\ - 0.001 & 1.4000287 \\ - 0.0001 & 1.40000028 \end{array}$

Paso 4

A medida que los valores de $x$ se acercan a $0$ , los valores de la función se acercan a $1.4$ . Por lo tanto, el límite de $\tan (7 x) \csc (5 x)$ a medida que $x$ se acerca a $0$ desde la izquierda es $1.4$ .

$1.4$

Paso 5

Considera el límite derecho.

$lim_{x \to 0^{+}} \tan (7 x) \csc (5 x)$

Paso 6

Haz una tabla para mostrar el comportamiento de la función $\tan (7 x) \csc (5 x)$ a medida que $x$ se acerca a $0$ desde la derecha.

$\begin{array}{c} x & \tan (7 x) \csc (5 x) \\ 0.1 & 1.75687007 \\ 0.01 & 1.40287561 \\ 0.001 & 1.4000287 \\ 0.0001 & 1.40000028 \end{array}$

Paso 7

A medida que los valores de $x$ se acercan a $0$ , los valores de la función se acercan a $1.4$ . Por lo tanto, el límite de $\tan (7 x) \csc (5 x)$ a medida que $x$ se acerca a $0$ desde la derecha es $1.4$ .

$1.4$