Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 1} \frac{{(x^{2} - 1)}^{3}}{x^{3} - 1}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 1} {(x^{2} - 1)}^{3}}{lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.2.1.1

Mueve el exponente $3$ de ${(x^{2} - 1)}^{3}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x^{2} - 1)}^{3}}{lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

Paso 1.1.2.1.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 1)}^{3}}{lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

Paso 1.1.2.1.3

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{{({(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 1)}^{3}}{lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

Paso 1.1.2.1.4

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$\frac{{({(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1)}^{3}}{lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

Paso 1.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{{(1^{2} - 1 \cdot 1)}^{3}}{lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.3.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{{(1 - 1 \cdot 1)}^{3}}{lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

Paso 1.1.2.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{{(1 - 1)}^{3}}{lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

Paso 1.1.2.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0^{3}}{lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

Paso 1.1.2.3.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{3} - lim_{x \to 1} 1}$

Paso 1.1.3.1.2

Mueve el exponente $3$ de $x^{3}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - lim_{x \to 1} 1}$

Paso 1.1.3.1.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 1 \cdot 1}$

Paso 1.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{0}{1^{3} - 1 \cdot 1}$

Paso 1.1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.3.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Paso 1.1.3.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Paso 1.1.3.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 1} \frac{{(x^{2} - 1)}^{3}}{x^{3} - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{3}]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 1]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{3}]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 1]}$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = x^{2} - 1$ .

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Paso 1.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} - 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 1]}$

Paso 1.3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 u^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 1]}$

Paso 1.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} - 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 1]}$

Paso 1.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 {(x^{2} - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 1]}$

Paso 1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 {(x^{2} - 1)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 1]}$

Paso 1.3.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 {(x^{2} - 1)}^{2} (2 x + 0)}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 1]}$

Paso 1.3.6

Suma $2 x$ y $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 {(x^{2} - 1)}^{2} (2 x)}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 1]}$

Paso 1.3.7

Multiplica $2$ por $3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 {(x^{2} - 1)}^{2} x}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 1]}$

Paso 1.3.8

Reordena los factores de $6 {(x^{2} - 1)}^{2} x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x {(x^{2} - 1)}^{2}}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 1]}$

Paso 1.3.9

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x {(x^{2} - 1)}^{2}}{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 1.3.10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x {(x^{2} - 1)}^{2}}{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 1.3.11

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x {(x^{2} - 1)}^{2}}{3 x^{2} + 0}$

Paso 1.3.12

Suma $3 x^{2}$ y $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x {(x^{2} - 1)}^{2}}{3 x^{2}}$

Paso 1.4

Reduce.

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Paso 1.4.1

Cancela el factor común de $6$ y $3$ .

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Paso 1.4.1.1

Factoriza $3$ de $6 x {(x^{2} - 1)}^{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 (2 x {(x^{2} - 1)}^{2})}{3 x^{2}}$

Paso 1.4.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.4.1.2.1

Factoriza $3$ de $3 x^{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 (2 x {(x^{2} - 1)}^{2})}{3 (x^{2})}$

Paso 1.4.1.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to 1} \frac{3 (2 x {(x^{2} - 1)}^{2})}{3 x^{2}}$

Paso 1.4.1.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to 1} \frac{2 x {(x^{2} - 1)}^{2}}{x^{2}}$

Paso 1.4.2

Cancela el factor común de $x$ y $x^{2}$ .

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Paso 1.4.2.1

Factoriza $x$ de $2 x {(x^{2} - 1)}^{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x (2 {(x^{2} - 1)}^{2})}{x^{2}}$

Paso 1.4.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.4.2.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x (2 {(x^{2} - 1)}^{2})}{x \cdot x}$

Paso 1.4.2.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to 1} \frac{x (2 {(x^{2} - 1)}^{2})}{x \cdot x}$

Paso 1.4.2.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to 1} \frac{2 {(x^{2} - 1)}^{2}}{x}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{{(x^{2} - 1)}^{2}}{x}$

Paso 2.2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$2 \frac{lim_{x \to 1} {(x^{2} - 1)}^{2}}{lim_{x \to 1} x}$

Paso 2.3

Mueve el exponente $2$ de ${(x^{2} - 1)}^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$2 \frac{{(lim_{x \to 1} x^{2} - 1)}^{2}}{lim_{x \to 1} x}$

Paso 2.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$2 \frac{{(lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 1)}^{2}}{lim_{x \to 1} x}$

Paso 2.5

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$2 \frac{{({(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 1)}^{2}}{lim_{x \to 1} x}$

Paso 2.6

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$2 \frac{{({(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1)}^{2}}{lim_{x \to 1} x}$

Paso 3

Evalúa los límites mediante el ingreso de $1$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 3.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$2 \frac{{(1^{2} - 1 \cdot 1)}^{2}}{lim_{x \to 1} x}$

Paso 3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$2 \frac{{(1^{2} - 1 \cdot 1)}^{2}}{1}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Divide ${(1^{2} - 1 \cdot 1)}^{2}$ por $1$ .

$2 {(1^{2} - 1 \cdot 1)}^{2}$

Paso 4.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$2 {(1 - 1 \cdot 1)}^{2}$

Paso 4.2.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$2 {(1 - 1)}^{2}$

Paso 4.3

Resta $1$ de $1$ .

$2 \cdot 0^{2}$

Paso 4.4

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$2 \cdot 0$

Paso 4.5

Multiplica $2$ por $0$ .

$0$