Cálculo Ejemplos

$x = - 1$ , $x = 2$ , $y = 3 e^{3 x}$ , $y = 2 e^{3 x} + 1$

Paso 1

Resuelve por sustitución para obtener la intersección entre las curvas.

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Paso 1.1

Elimina los lados iguales de cada ecuación y combina.

$3 e^{3 x} = 2 e^{3 x} + 1$

Paso 1.2

Resuelve $3 e^{3 x} = 2 e^{3 x} + 1$ en $x$ .

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Paso 1.2.1

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.2.1.1

Resta $2 e^{3 x}$ de ambos lados de la ecuación.

$3 e^{3 x} - 2 e^{3 x} = 1$

Paso 1.2.1.2

Resta $2 e^{3 x}$ de $3 e^{3 x}$ .

$e^{3 x} = 1$

Paso 1.2.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{3 x}) = \ln (1)$

Paso 1.2.3

Expande el lado izquierdo.

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Paso 1.2.3.1

Expande $\ln (e^{3 x})$ ; para ello, mueve $3 x$ fuera del logaritmo.

$3 x \ln (e) = \ln (1)$

Paso 1.2.3.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$3 x \cdot 1 = \ln (1)$

Paso 1.2.3.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$3 x = \ln (1)$

Paso 1.2.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.1

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$3 x = 0$

Paso 1.2.5

Divide cada término en $3 x = 0$ por $3$ y simplifica.

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Paso 1.2.5.1

Divide cada término en $3 x = 0$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Paso 1.2.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.5.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.2.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Paso 1.2.5.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{3}$

Paso 1.2.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.5.3.1

Divide $0$ por $3$ .

$x = 0$

Paso 1.3

Evalúa $y$ cuando $x = 0$ .

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Paso 1.3.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$y = 2 e^{3 (0)} + 1$

Paso 1.3.2

Simplifica $2 e^{3 (0)} + 1$ .

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Paso 1.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.2.1.1

Multiplica $3$ por $0$ .

$y = 2 e^{0} + 1$

Paso 1.3.2.1.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$y = 2 \cdot 1 + 1$

Paso 1.3.2.1.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = 2 + 1$

Paso 1.3.2.2

Suma $2$ y $1$ .

$y = 3$

Paso 1.4

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(0, 3)$

Paso 2

El área de la región entre las curvas se define como la integral de la curva superior menos la integral de la curva inferior en cada región. Las regiones están determinadas por los puntos de intersección de las curvas. Esto puede hacerse mediante un cálculo algebraico o una representación gráfica.

$A r e a = \int_{- 1}^{0} 2 e^{3 x} + 1 d x - \int_{- 1}^{0} 3 e^{3 x} d x$

Paso 3

Integra para obtener el área entre $- 1$ y $0$ .

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Paso 3.1

Combina las integrales en una sola integral.

$\int_{- 1}^{0} 2 e^{3 x} + 1 - (3 e^{3 x}) d x$

Paso 3.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\int_{- 1}^{0} 2 e^{3 x} + 1 - 3 e^{3 x} d x$

Paso 3.3

Resta $3 e^{3 x}$ de $2 e^{3 x}$ .

$\int_{- 1}^{0} 1 - e^{3 x} d x$

Paso 3.4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{- 1}^{0} d x + \int_{- 1}^{0} - e^{3 x} d x$

Paso 3.5

Aplica la regla de la constante.

$x]_{- 1}^{0} + \int_{- 1}^{0} - e^{3 x} d x$

Paso 3.6

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$x]_{- 1}^{0} - \int_{- 1}^{0} e^{3 x} d x$

Paso 3.7

Sea $u = 3 x$ . Entonces $d u = 3 d x$ , de modo que $\frac{1}{3} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 3.7.1

Deja $u = 3 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 3.7.1.1

Diferencia $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 3.7.1.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.7.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Paso 3.7.1.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$3$

Paso 3.7.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 3 x$ .

$u_{lower} = 3 \cdot - 1$

Paso 3.7.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$u_{lower} = - 3$

Paso 3.7.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 3 x$ .

$u_{upper} = 3 \cdot 0$

Paso 3.7.5

Multiplica $3$ por $0$ .

$u_{upper} = 0$

Paso 3.7.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = - 3$

$u_{upper} = 0$

Paso 3.7.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$x]_{- 1}^{0} - \int_{- 3}^{0} e^{u} \frac{1}{3} d u$

Paso 3.8

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{3}$ .

$x]_{- 1}^{0} - \int_{- 3}^{0} \frac{e^{u}}{3} d u$

Paso 3.9

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$x]_{- 1}^{0} - (\frac{1}{3} \int_{- 3}^{0} e^{u} d u)$

Paso 3.10

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$x]_{- 1}^{0} - \frac{1}{3} e^{u}]_{- 3}^{0}$

Paso 3.11

Sustituye y simplifica.

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Paso 3.11.1

Evalúa $x$ en $0$ y en $- 1$ .

$(0) + 1 - \frac{1}{3} e^{u}]_{- 3}^{0}$

Paso 3.11.2

Evalúa $e^{u}$ en $0$ y en $- 3$ .

$(0) + 1 - \frac{1}{3} ((e^{0}) - e^{- 3})$

Paso 3.11.3

Simplifica.

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Paso 3.11.3.1

Suma $0$ y $1$ .

$1 - \frac{1}{3} ((e^{0}) - e^{- 3})$

Paso 3.11.3.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$1 - \frac{1}{3} (1 - e^{- 3})$

Paso 3.12

Simplifica.

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Paso 3.12.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.12.1.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - \frac{1}{3} (1 - \frac{1}{e^{3}})$

Paso 3.12.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$1 - \frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{1}{3} (- \frac{1}{e^{3}})$

Paso 3.12.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$1 - \frac{1}{3} - \frac{1}{3} (- \frac{1}{e^{3}})$

Paso 3.12.1.4

Multiplica $- \frac{1}{3} (- \frac{1}{e^{3}})$ .

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Paso 3.12.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 - \frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3}) \frac{1}{e^{3}}$

Paso 3.12.1.4.2

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{e^{3}}$

Paso 3.12.1.4.3

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{e^{3}}$ .

$1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3 e^{3}}$

Paso 3.12.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{3}{3} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3 e^{3}}$

Paso 3.12.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3 - 1}{3} + \frac{1}{3 e^{3}}$

Paso 3.12.4

Resta $1$ de $3$ .

$\frac{2}{3} + \frac{1}{3 e^{3}}$

Paso 4

$A r e a = \int_{0}^{2} 3 e^{3 x} d x - \int_{0}^{2} 2 e^{3 x} + 1 d x$

Paso 5

Integra para obtener el área entre $0$ y $2$ .

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Paso 5.1

Combina las integrales en una sola integral.

$\int_{0}^{2} 3 e^{3 x} - (2 e^{3 x} + 1) d x$

Paso 5.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 e^{3 x} - (2 e^{3 x}) - 1 \cdot 1$

Paso 5.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$3 e^{3 x} - 2 e^{3 x} - 1 \cdot 1$

Paso 5.2.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$3 e^{3 x} - 2 e^{3 x} - 1$

$\int_{0}^{2} 3 e^{3 x} - 2 e^{3 x} - 1 d x$

Paso 5.3

Resta $2 e^{3 x}$ de $3 e^{3 x}$ .

$\int_{0}^{2} e^{3 x} - 1 d x$

Paso 5.4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{0}^{2} e^{3 x} d x + \int_{0}^{2} - 1 d x$

Paso 5.5

Sea $u = 3 x$ . Entonces $d u = 3 d x$ , de modo que $\frac{1}{3} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 5.5.1

Deja $u = 3 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 5.5.1.1

Diferencia $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 5.5.1.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Paso 5.5.1.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$3$

Paso 5.5.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 3 x$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

Paso 5.5.3

Multiplica $3$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 5.5.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 3 x$ .

$u_{upper} = 3 \cdot 2$

Paso 5.5.5

Multiplica $3$ por $2$ .

$u_{upper} = 6$

Paso 5.5.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 6$

Paso 5.5.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{0}^{6} e^{u} \frac{1}{3} d u + \int_{0}^{2} - 1 d x$

Paso 5.6

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{3}$ .

$\int_{0}^{6} \frac{e^{u}}{3} d u + \int_{0}^{2} - 1 d x$

Paso 5.7

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} \int_{0}^{6} e^{u} d u + \int_{0}^{2} - 1 d x$

Paso 5.8

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$\frac{1}{3} e^{u}]_{0}^{6} + \int_{0}^{2} - 1 d x$

Paso 5.9

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{3} e^{u}]_{0}^{6} + - x]_{0}^{2}$

Paso 5.10

Sustituye y simplifica.

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Paso 5.10.1

Evalúa $e^{u}$ en $6$ y en $0$ .

$\frac{1}{3} ((e^{6}) - e^{0}) + - x]_{0}^{2}$

Paso 5.10.2

Evalúa $- x$ en $2$ y en $0$ .

$\frac{1}{3} ((e^{6}) - e^{0}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Paso 5.10.3

Simplifica.

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Paso 5.10.3.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{1}{3} (e^{6} - 1 \cdot 1) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Paso 5.10.3.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{3} (e^{6} - 1) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Paso 5.10.3.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{3} (e^{6} - 1) - 2 + 0$

Paso 5.10.3.4

Suma $- 2$ y $0$ .

$\frac{1}{3} (e^{6} - 1) - 2$

Paso 5.11

Simplifica.

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Paso 5.11.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.11.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{3} e^{6} + \frac{1}{3} \cdot - 1 - 2$

Paso 5.11.1.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $e^{6}$ .

$\frac{e^{6}}{3} + \frac{1}{3} \cdot - 1 - 2$

Paso 5.11.1.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $- 1$ .

$\frac{e^{6}}{3} + \frac{- 1}{3} - 2$

Paso 5.11.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{e^{6}}{3} - \frac{1}{3} - 2$

Paso 5.11.2

Para escribir $- 2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{e^{6}}{3} - \frac{1}{3} - 2 \cdot \frac{3}{3}$

Paso 5.11.3

Combina $- 2$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{e^{6}}{3} - \frac{1}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3}$

Paso 5.11.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{e^{6}}{3} + \frac{- 1 - 2 \cdot 3}{3}$

Paso 5.11.5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.11.5.1

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$\frac{e^{6}}{3} + \frac{- 1 - 6}{3}$

Paso 5.11.5.2

Resta $6$ de $- 1$ .

$\frac{e^{6}}{3} + \frac{- 7}{3}$

Paso 5.11.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{e^{6}}{3} - \frac{7}{3}$

Paso 6

Suma las áreas $\frac{2}{3} + \frac{1}{3 e^{3}} + \frac{e^{6}}{3} - \frac{7}{3}$ .

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Paso 6.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 + e^{6} - 7}{3} + \frac{1}{3 e^{3}}$

Paso 6.2

Resta $7$ de $2$ .

$\frac{e^{6} - 5}{3} + \frac{1}{3 e^{3}}$

Paso 6.3

Para escribir $\frac{e^{6} - 5}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{e^{3}}{e^{3}}$ .

$\frac{e^{6} - 5}{3} \cdot \frac{e^{3}}{e^{3}} + \frac{1}{3 e^{3}}$

Paso 6.4

Combina fracciones.

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Paso 6.4.1

Multiplica $\frac{e^{6} - 5}{3}$ por $\frac{e^{3}}{e^{3}}$ .

$\frac{(e^{6} - 5) e^{3}}{3 e^{3}} + \frac{1}{3 e^{3}}$

Paso 6.4.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(e^{6} - 5) e^{3} + 1}{3 e^{3}}$

Paso 6.5

Simplifica el numerador.

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Paso 6.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{e^{6} e^{3} - 5 e^{3} + 1}{3 e^{3}}$

Paso 6.5.2

Multiplica $e^{6}$ por $e^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.5.2.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{e^{6 + 3} - 5 e^{3} + 1}{3 e^{3}}$

Paso 6.5.2.2

Suma $6$ y $3$ .

$\frac{e^{9} - 5 e^{3} + 1}{3 e^{3}}$

Paso 7