Cálculo Ejemplos

$\log_{b} (216) = 3$

Paso 1

Reescribe $\log_{b} (216) = 3$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$b^{3} = 216$

Paso 2

Resuelve $b$

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Resta $216$ de ambos lados de la ecuación.

$b^{3} - 216 = 0$

Paso 2.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Reescribe $216$ como $6^{3}$ .

$b^{3} - 6^{3} = 0$

Paso 2.2.2

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = b$ y $b = 6$ .

$(b - 6) (b^{2} + b \cdot 6 + 6^{2}) = 0$

Paso 2.2.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.3.1

Mueve $6$ a la izquierda de $b$ .

$(b - 6) (b^{2} + 6 b + 6^{2}) = 0$

Paso 2.2.3.2

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$(b - 6) (b^{2} + 6 b + 36) = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$b - 6 = 0$

$b^{2} + 6 b + 36 = 0$

Paso 2.4

Establece $b - 6$ igual a $0$ y resuelve $b$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.1

Establece $b - 6$ igual a $0$ .

$b - 6 = 0$

Paso 2.4.2

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$b = 6$

Paso 2.5

Establece $b^{2} + 6 b + 36$ igual a $0$ y resuelve $b$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.1

Establece $b^{2} + 6 b + 36$ igual a $0$ .

$b^{2} + 6 b + 36 = 0$

Paso 2.5.2

Resuelve $b^{2} + 6 b + 36 = 0$ en $b$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 2.5.2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 6$ y $c = 36$ en la fórmula cuadrática y resuelve $b$ .

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 36)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.2.3.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.2.3.1.1

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$b = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 36$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$b = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $36$ .

$b = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 144}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.3.1.3

Resta $144$ de $36$ .

$b = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 108}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.3.1.4

Reescribe $- 108$ como $- 1 (108)$ .

$b = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 108}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (108)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{108}$ .

$b = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{108}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$b = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{108}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.3.1.7

Reescribe $108$ como $6^{2} \cdot 3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.2.3.1.7.1

Factoriza $36$ de $108$ .

$b = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{36 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.3.1.7.2

Reescribe $36$ como $6^{2}$ .

$b = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{6^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.3.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$b = \frac{- 6 \pm i \cdot (6 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.3.1.9

Mueve $6$ a la izquierda de $i$ .

$b = \frac{- 6 \pm 6 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$b = \frac{- 6 \pm 6 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.5.2.3.3

Simplifica $\frac{- 6 \pm 6 i \sqrt{3}}{2}$ .

$b = - 3 \pm 3 i \sqrt{3}$

Paso 2.5.2.4

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$b = - 3 + 3 i \sqrt{3}, - 3 - 3 i \sqrt{3}$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(b - 6) (b^{2} + 6 b + 36) = 0$ verdadera.

$b = 6, - 3 + 3 i \sqrt{3}, - 3 - 3 i \sqrt{3}$