Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} + 2 x - 3}{2 x^{2} - 2}$

Paso 1

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{- 3}{x^{2}}}{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 2}{x^{2}}}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 2.1.1.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{- 3}{x^{2}}}{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 2}{x^{2}}}$

Paso 2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{- 3}{x^{2}}}{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 2}{x^{2}}}$

Paso 2.1.2

Cancela el factor común de $x$ y $x^{2}$ .

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Paso 2.1.2.1

Factoriza $x$ de $2 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{x \cdot 2}{x^{2}} + \frac{- 3}{x^{2}}}{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 2}{x^{2}}}$

Paso 2.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.2.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \frac{- 3}{x^{2}}}{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 2}{x^{2}}}$

Paso 2.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \frac{- 3}{x^{2}}}{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 2}{x^{2}}}$

Paso 2.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{2}{x} + \frac{- 3}{x^{2}}}{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 2}{x^{2}}}$

Paso 2.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^{2}}}{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 2}{x^{2}}}$

Paso 2.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^{2}}}{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 2}{x^{2}}}$

Paso 2.2.1.2

Divide $2$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^{2}}}{2 + \frac{- 2}{x^{2}}}$

Paso 2.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^{2}}}{2 - \frac{2}{x^{2}}}$

Paso 2.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 2 - \frac{2}{x^{2}}}$

Paso 2.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 2 - \frac{2}{x^{2}}}$

Paso 2.5

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{1 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 2 - \frac{2}{x^{2}}}$

Paso 2.6

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1 + 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 2 - \frac{2}{x^{2}}}$

Paso 3

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{1 + 2 \cdot 0 - lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 2 - \frac{2}{x^{2}}}$

Paso 4

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1 + 2 \cdot 0 - 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 2 - \frac{2}{x^{2}}}$

Paso 5

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{2}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{1 + 2 \cdot 0 - 3 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 2 - \frac{2}{x^{2}}}$

Paso 6

Evalúa el límite.

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Paso 6.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{1 + 2 \cdot 0 - 3 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 2 - lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{2}}}$

Paso 6.2

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{1 + 2 \cdot 0 - 3 \cdot 0}{2 - lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{2}}}$

Paso 6.3

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1 + 2 \cdot 0 - 3 \cdot 0}{2 - 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 7

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{2}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{1 + 2 \cdot 0 - 3 \cdot 0}{2 - 2 \cdot 0}$

Paso 8

Simplifica la respuesta.

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Paso 8.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.1.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$\frac{1 + 0 - 3 \cdot 0}{2 - 2 \cdot 0}$

Paso 8.1.2

Multiplica $- 3$ por $0$ .

$\frac{1 + 0 + 0}{2 - 2 \cdot 0}$

Paso 8.1.3

Suma $1 + 0$ y $0$ .

$\frac{1 + 0}{2 - 2 \cdot 0}$

Paso 8.1.4

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{1}{2 - 2 \cdot 0}$

Paso 8.2

Simplifica el denominador.

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Paso 8.2.1

Multiplica $- 2$ por $0$ .

$\frac{1}{2 + 0}$

Paso 8.2.2

Suma $2$ y $0$ .

$\frac{1}{2}$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1}{2}$

Forma decimal:

$0.5$