Cálculo Ejemplos

$\frac{{(2 t + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3}$

Paso 1

Como $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $\frac{{(2 t + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ con respecto a $t$ es $\frac{1}{3} \frac{d}{d t} [{(2 t + 1)}^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d t} [{(2 t + 1)}^{\frac{3}{2}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = t^{\frac{3}{2}}$ y $g (t) = 2 t + 1$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 t + 1$ .

$\frac{1}{3} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d t} [2 t + 1])$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d t} [2 t + 1])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 t + 1$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(2 t + 1)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d t} [2 t + 1])$

Paso 3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(2 t + 1)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [2 t + 1])$

Paso 4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(2 t + 1)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [2 t + 1])$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(2 t + 1)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [2 t + 1])$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(2 t + 1)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [2 t + 1])$

Paso 6.2

Resta $2$ de $3$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [2 t + 1])$

Paso 7

Combina $\frac{3}{2}$ y ${(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3 {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [2 t + 1])$

Paso 8

Multiplica $\frac{3 {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3 {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 3} \frac{d}{d t} [2 t + 1]$

Paso 9

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{3 {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}}{6} \frac{d}{d t} [2 t + 1]$

Paso 10

Factoriza $3$ de $3 {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 ({(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}})}{6} \frac{d}{d t} [2 t + 1]$

Paso 11

Cancela los factores comunes.

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Paso 11.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$\frac{3 {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} \frac{d}{d t} [2 t + 1]$

Paso 11.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} \frac{d}{d t} [2 t + 1]$

Paso 11.3

Reescribe la expresión.

$\frac{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [2 t + 1]$

Paso 12

Según la regla de la suma, la derivada de $2 t + 1$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} (\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [1])$

Paso 13

Como $2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $2 t$ con respecto a $t$ es $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} (2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1])$

Paso 14

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [1])$

Paso 15

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} (2 + \frac{d}{d t} [1])$

Paso 16

Como $1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $1$ con respecto a $t$ es $0$ .

$\frac{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} (2 + 0)$

Paso 17

Simplifica los términos.

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Paso 17.1

Suma $2$ y $0$ .

$\frac{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot 2$

Paso 17.2

Combina $\frac{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ y $2$ .

$\frac{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2}$

Paso 17.3

Mueve $2$ a la izquierda de ${(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 17.4

Cancela el factor común.

$\frac{2 {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 17.5

Divide ${(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

${(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}$