Cálculo Ejemplos

$g (u) = \sqrt{3} u + \sqrt{5 u}$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $\sqrt{3} u + \sqrt{5 u}$ con respecto a $u$ es $\frac{d}{d u} [\sqrt{3} u] + \frac{d}{d u} [\sqrt{5 u}]$ .

$\frac{d}{d u} [\sqrt{3} u] + \frac{d}{d u} [\sqrt{5 u}]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d u} [\sqrt{3} u]$ .

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Paso 2.1

Como $\sqrt{3}$ es constante con respecto a $u$ , la derivada de $\sqrt{3} u$ con respecto a $u$ es $\sqrt{3} \frac{d}{d u} [u]$ .

$\sqrt{3} \frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [\sqrt{5 u}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\sqrt{3} \cdot 1 + \frac{d}{d u} [\sqrt{5 u}]$

Paso 2.3

Multiplica $\sqrt{3}$ por $1$ .

$\sqrt{3} + \frac{d}{d u} [\sqrt{5 u}]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d u} [\sqrt{5 u}]$ .

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Paso 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5 u}$ como ${(5 u)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{3} + \frac{d}{d u} [{(5 u)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3.2

Factoriza $5$ de $5 u$ .

$\sqrt{3} + \frac{d}{d u} [{(5 (u))}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3.3

Aplica la regla del producto a $5 (u)$ .

$\sqrt{3} + \frac{d}{d u} [5^{\frac{1}{2}} u^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3.4

Como $5^{\frac{1}{2}}$ es constante con respecto a $u$ , la derivada de $5^{\frac{1}{2}} u^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}]$ .

$\sqrt{3} + 5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\sqrt{3} + 5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1})$

Paso 3.6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{3} + 5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Paso 3.7

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{3} + 5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 3.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sqrt{3} + 5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} u^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 3.9

Simplifica el numerador.

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Paso 3.9.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\sqrt{3} + 5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} u^{\frac{1 - 2}{2}})$

Paso 3.9.2

Resta $2$ de $1$ .

$\sqrt{3} + 5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} u^{\frac{- 1}{2}})$

Paso 3.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\sqrt{3} + 5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2}})$

Paso 3.11

Combina $\frac{1}{2}$ y $u^{- \frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{3} + 5^{\frac{1}{2}} \frac{u^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 3.12

Combina $5^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{u^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\sqrt{3} + \frac{5^{\frac{1}{2}} u^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 3.13

Mueve $u^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\sqrt{3} + \frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4

Reordena los términos.

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 u^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{3}$