Cálculo Ejemplos

$\frac{x^{3} + 5}{x}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{3} + 5$ y $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [x^{3} + 5] - (x^{3} + 5) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} + 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]) - (x^{3} + 5) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{x (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [5]) - (x^{3} + 5) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 2.3

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x (3 x^{2} + 0) - (x^{3} + 5) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 2.4

Suma $3 x^{2}$ y $0$ .

$\frac{x (3 x^{2}) - (x^{3} + 5) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 (x^{1} x^{2}) - (x^{3} + 5) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3 x^{1 + 2} - (x^{3} + 5) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 5

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{3 x^{3} - (x^{3} + 5) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{3 x^{3} - (x^{3} + 5) \cdot 1}{x^{2}}$

Paso 7

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{3 x^{3} - (x^{3} + 5)}{x^{2}}$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 x^{3} - x^{3} - 1 \cdot 5}{x^{2}}$

Paso 8.2

Simplifica el numerador.

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Paso 8.2.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$\frac{3 x^{3} - x^{3} - 5}{x^{2}}$

Paso 8.2.2

Resta $x^{3}$ de $3 x^{3}$ .

$\frac{2 x^{3} - 5}{x^{2}}$