Cálculo Ejemplos

$\frac{e^{x}}{\ln (x)}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = \ln (x)$ .

$\frac{\ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\ln^{2} (x)}$

Paso 2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{\ln (x) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\ln^{2} (x)}$

Paso 3

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x) e^{x} - e^{x} \frac{1}{x}}{\ln^{2} (x)}$

Paso 4

Combina $\frac{1}{x}$ y $e^{x}$ .

$\frac{\ln (x) e^{x} - \frac{e^{x}}{x}}{\ln^{2} (x)}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Reordena los factores en $\ln (x) e^{x} - \frac{e^{x}}{x}$ .

$\frac{e^{x} \ln (x) - \frac{e^{x}}{x}}{\ln^{2} (x)}$

Paso 5.2

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.1

Factoriza $e^{x}$ de $e^{x} \ln (x) - \frac{e^{x}}{x}$ .

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Paso 5.2.1.1

Factoriza $e^{x}$ de $e^{x} \ln (x)$ .

$\frac{e^{x} (\ln (x)) - \frac{e^{x}}{x}}{\ln^{2} (x)}$

Paso 5.2.1.2

Factoriza $e^{x}$ de $- \frac{e^{x}}{x}$ .

$\frac{e^{x} (\ln (x)) + e^{x} (- \frac{1}{x})}{\ln^{2} (x)}$

Paso 5.2.1.3

Factoriza $e^{x}$ de $e^{x} (\ln (x)) + e^{x} (- \frac{1}{x})$ .

$\frac{e^{x} (\ln (x) - \frac{1}{x})}{\ln^{2} (x)}$

Paso 5.2.2

Para escribir $\ln (x)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{e^{x} (\frac{\ln (x) x}{x} - \frac{1}{x})}{\ln^{2} (x)}$

Paso 5.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{e^{x} \frac{\ln (x) x - 1}{x}}{\ln^{2} (x)}$

Paso 5.3

Combina $e^{x}$ y $\frac{\ln (x) x - 1}{x}$ .

$\frac{\frac{e^{x} (\ln (x) x - 1)}{x}}{\ln^{2} (x)}$

Paso 5.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{e^{x} (\ln (x) x - 1)}{x} \cdot \frac{1}{\ln^{2} (x)}$

Paso 5.5

Combinar.

$\frac{e^{x} (\ln (x) x - 1) \cdot 1}{x \ln^{2} (x)}$

Paso 5.6

Multiplica $e^{x}$ por $1$ .

$\frac{e^{x} (\ln (x) x - 1)}{x \ln^{2} (x)}$

Paso 5.7

Reordena los factores en $\frac{e^{x} (\ln (x) x - 1)}{x \ln^{2} (x)}$ .

$\frac{e^{x} (x \ln (x) - 1)}{x \ln^{2} (x)}$