Cálculo Ejemplos

$\frac{4 x - 9}{8 x + 1}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 4 x - 9$ y $g (x) = 8 x + 1$ .

$\frac{(8 x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 9] - (4 x - 9) \frac{d}{d x} [8 x + 1]}{{(8 x + 1)}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x - 9$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{(8 x + 1) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 9]) - (4 x - 9) \frac{d}{d x} [8 x + 1]}{{(8 x + 1)}^{2}}$

Paso 2.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(8 x + 1) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]) - (4 x - 9) \frac{d}{d x} [8 x + 1]}{{(8 x + 1)}^{2}}$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(8 x + 1) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]) - (4 x - 9) \frac{d}{d x} [8 x + 1]}{{(8 x + 1)}^{2}}$

Paso 2.4

Multiplica $4$ por $1$ .

$\frac{(8 x + 1) (4 + \frac{d}{d x} [- 9]) - (4 x - 9) \frac{d}{d x} [8 x + 1]}{{(8 x + 1)}^{2}}$

Paso 2.5

Como $- 9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(8 x + 1) (4 + 0) - (4 x - 9) \frac{d}{d x} [8 x + 1]}{{(8 x + 1)}^{2}}$

Paso 2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 2.6.1

Suma $4$ y $0$ .

$\frac{(8 x + 1) \cdot 4 - (4 x - 9) \frac{d}{d x} [8 x + 1]}{{(8 x + 1)}^{2}}$

Paso 2.6.2

Mueve $4$ a la izquierda de $8 x + 1$ .

$\frac{4 \cdot (8 x + 1) - (4 x - 9) \frac{d}{d x} [8 x + 1]}{{(8 x + 1)}^{2}}$

Paso 2.7

Según la regla de la suma, la derivada de $8 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{4 (8 x + 1) - (4 x - 9) (\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(8 x + 1)}^{2}}$

Paso 2.8

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 x$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4 (8 x + 1) - (4 x - 9) (8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(8 x + 1)}^{2}}$

Paso 2.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{4 (8 x + 1) - (4 x - 9) (8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(8 x + 1)}^{2}}$

Paso 2.10

Multiplica $8$ por $1$ .

$\frac{4 (8 x + 1) - (4 x - 9) (8 + \frac{d}{d x} [1])}{{(8 x + 1)}^{2}}$

Paso 2.11

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{4 (8 x + 1) - (4 x - 9) (8 + 0)}{{(8 x + 1)}^{2}}$

Paso 2.12

Simplifica la expresión.

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Paso 2.12.1

Suma $8$ y $0$ .

$\frac{4 (8 x + 1) - (4 x - 9) \cdot 8}{{(8 x + 1)}^{2}}$

Paso 2.12.2

Multiplica $8$ por $- 1$ .

$\frac{4 (8 x + 1) - 8 (4 x - 9)}{{(8 x + 1)}^{2}}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 (8 x) + 4 \cdot 1 - 8 (4 x - 9)}{{(8 x + 1)}^{2}}$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 (8 x) + 4 \cdot 1 - 8 (4 x) - 8 \cdot - 9}{{(8 x + 1)}^{2}}$

Paso 3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1.1

Multiplica $8$ por $4$ .

$\frac{32 x + 4 \cdot 1 - 8 (4 x) - 8 \cdot - 9}{{(8 x + 1)}^{2}}$

Paso 3.3.1.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$\frac{32 x + 4 - 8 (4 x) - 8 \cdot - 9}{{(8 x + 1)}^{2}}$

Paso 3.3.1.3

Multiplica $4$ por $- 8$ .

$\frac{32 x + 4 - 32 x - 8 \cdot - 9}{{(8 x + 1)}^{2}}$

Paso 3.3.1.4

Multiplica $- 8$ por $- 9$ .

$\frac{32 x + 4 - 32 x + 72}{{(8 x + 1)}^{2}}$

Paso 3.3.2

Combina los términos opuestos en $32 x + 4 - 32 x + 72$ .

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Paso 3.3.2.1

Resta $32 x$ de $32 x$ .

$\frac{0 + 4 + 72}{{(8 x + 1)}^{2}}$

Paso 3.3.2.2

Suma $0$ y $4$ .

$\frac{4 + 72}{{(8 x + 1)}^{2}}$

Paso 3.3.3

Suma $4$ y $72$ .

$\frac{76}{{(8 x + 1)}^{2}}$