Cálculo Ejemplos

$\frac{9 (x^{2} - 3)}{x^{3}}$

Paso 1

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{9 (x^{2} - 3)}{x^{3}}$ con respecto a $x$ es $9 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 3}{x^{3}}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 3}{x^{3}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{2} - 3$ y $g (x) = x^{3}$ .

$9 \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3] - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

Paso 3

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3] - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

Paso 3.1.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$9 \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3] - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$9 \frac{x^{3} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$9 \frac{x^{3} (2 x + \frac{d}{d x} [- 3]) - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Paso 3.4

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$9 \frac{x^{3} (2 x + 0) - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Paso 3.5

Suma $2 x$ y $0$ .

$9 \frac{x^{3} (2 x) - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Paso 4

Multiplica $x^{3}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Mueve $x$ .

$9 \frac{x \cdot x^{3} \cdot 2 - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Paso 4.2

Multiplica $x$ por $x^{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$9 \frac{x^{1} x^{3} \cdot 2 - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Paso 4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$9 \frac{x^{1 + 3} \cdot 2 - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Paso 4.3

Suma $1$ y $3$ .

$9 \frac{x^{4} \cdot 2 - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Paso 5

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{4}$ .

$9 \frac{2 \cdot x^{4} - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Paso 6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$9 \frac{2 x^{4} - (x^{2} - 3) (3 x^{2})}{x^{6}}$

Paso 7

Simplifica con la obtención del factor común.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$9 \frac{2 x^{4} - 3 (x^{2} - 3) x^{2}}{x^{6}}$

Paso 7.2

Factoriza $x^{2}$ de $2 x^{4} - 3 (x^{2} - 3) x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1

Factoriza $x^{2}$ de $2 x^{4}$ .

$9 \frac{x^{2} (2 x^{2}) - 3 (x^{2} - 3) x^{2}}{x^{6}}$

Paso 7.2.2

Factoriza $x^{2}$ de $- 3 (x^{2} - 3) x^{2}$ .

$9 \frac{x^{2} (2 x^{2}) + x^{2} (- 3 (x^{2} - 3))}{x^{6}}$

Paso 7.2.3

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} (2 x^{2}) + x^{2} (- 3 (x^{2} - 3))$ .

$9 \frac{x^{2} (2 x^{2} - 3 (x^{2} - 3))}{x^{6}}$

Paso 8

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{6}$ .

$9 \frac{x^{2} (2 x^{2} - 3 (x^{2} - 3))}{x^{2} x^{4}}$

Paso 8.2

Cancela el factor común.

$9 \frac{x^{2} (2 x^{2} - 3 (x^{2} - 3))}{x^{2} x^{4}}$

Paso 8.3

Reescribe la expresión.

$9 \frac{2 x^{2} - 3 (x^{2} - 3)}{x^{4}}$

Paso 9

Combina $9$ y $\frac{2 x^{2} - 3 (x^{2} - 3)}{x^{4}}$ .

$\frac{9 (2 x^{2} - 3 (x^{2} - 3))}{x^{4}}$

Paso 10

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{9 (2 x^{2} - 3 x^{2} - 3 \cdot - 3)}{x^{4}}$

Paso 10.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{9 (2 x^{2}) + 9 (- 3 x^{2}) + 9 (- 3 \cdot - 3)}{x^{4}}$

Paso 10.3

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.3.1.1

Multiplica $2$ por $9$ .

$\frac{18 x^{2} + 9 (- 3 x^{2}) + 9 (- 3 \cdot - 3)}{x^{4}}$

Paso 10.3.1.2

Multiplica $- 3$ por $9$ .

$\frac{18 x^{2} - 27 x^{2} + 9 (- 3 \cdot - 3)}{x^{4}}$

Paso 10.3.1.3

Multiplica $9 (- 3 \cdot - 3)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.3.1.3.1

Multiplica $- 3$ por $- 3$ .

$\frac{18 x^{2} - 27 x^{2} + 9 \cdot 9}{x^{4}}$

Paso 10.3.1.3.2

Multiplica $9$ por $9$ .

$\frac{18 x^{2} - 27 x^{2} + 81}{x^{4}}$

Paso 10.3.2

Resta $27 x^{2}$ de $18 x^{2}$ .

$\frac{- 9 x^{2} + 81}{x^{4}}$

Paso 10.4

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.4.1

Factoriza $9$ de $- 9 x^{2} + 81$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.4.1.1

Factoriza $9$ de $- 9 x^{2}$ .

$\frac{9 (- x^{2}) + 81}{x^{4}}$

Paso 10.4.1.2

Factoriza $9$ de $81$ .

$\frac{9 (- x^{2}) + 9 (9)}{x^{4}}$

Paso 10.4.1.3

Factoriza $9$ de $9 (- x^{2}) + 9 (9)$ .

$\frac{9 (- x^{2} + 9)}{x^{4}}$

Paso 10.4.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{9 (- x^{2} + 3^{2})}{x^{4}}$

Paso 10.4.3

Reordena $- x^{2}$ y $3^{2}$ .

$\frac{9 (3^{2} - x^{2})}{x^{4}}$

Paso 10.4.4

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 3$ y $b = x$ .

$\frac{9 (3 + x) (3 - x)}{x^{4}}$