Cálculo Ejemplos

$\frac{x}{\sqrt{7 - 3 x}}$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{7 - 3 x}$ como ${(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 3

Multiplica los exponentes en ${({(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}]}{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}]}{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 3.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}]}{{(7 - 3 x)}^{1}}$

Paso 4

Simplifica.

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}]}{7 - 3 x}$

Paso 5

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 5.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}]}{7 - 3 x}$

Paso 5.2

Multiplica ${(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} - x \frac{d}{d x} [{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}]}{7 - 3 x}$

Paso 6

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 7 - 3 x$ .

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Paso 6.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $7 - 3 x$ .

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [7 - 3 x])}{7 - 3 x}$

Paso 6.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [7 - 3 x])}{7 - 3 x}$

Paso 6.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $7 - 3 x$ .

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [7 - 3 x])}{7 - 3 x}$

Paso 7

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [7 - 3 x])}{7 - 3 x}$

Paso 8

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [7 - 3 x])}{7 - 3 x}$

Paso 9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(7 - 3 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [7 - 3 x])}{7 - 3 x}$

Paso 10

Simplifica el numerador.

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Paso 10.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(7 - 3 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [7 - 3 x])}{7 - 3 x}$

Paso 10.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(7 - 3 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [7 - 3 x])}{7 - 3 x}$

Paso 11

Combina fracciones.

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Paso 11.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [7 - 3 x])}{7 - 3 x}$

Paso 11.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [7 - 3 x])}{7 - 3 x}$

Paso 11.3

Mueve ${(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [7 - 3 x])}{7 - 3 x}$

Paso 11.4

Combina $\frac{1}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [7 - 3 x]}{7 - 3 x}$

Paso 12

Según la regla de la suma, la derivada de $7 - 3 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 3 x])}{7 - 3 x}$

Paso 13

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x])}{7 - 3 x}$

Paso 14

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 3 x]}{7 - 3 x}$

Paso 15

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (- 3 \frac{d}{d x} [x])}{7 - 3 x}$

Paso 16

Combina fracciones.

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Paso 16.1

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} + 3 \frac{x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]}{7 - 3 x}$

Paso 16.2

Combina $3$ y $\frac{x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} + \frac{3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]}{7 - 3 x}$

Paso 17

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} + \frac{3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1}{7 - 3 x}$

Paso 18

Multiplica $\frac{3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ por $1$ .

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} + \frac{3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}}{7 - 3 x}$

Paso 19

Para escribir ${(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}}{7 - 3 x}$

Paso 20

Combina ${(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}}{7 - 3 x}$

Paso 21

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}) + 3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}}{7 - 3 x}$

Paso 22

Multiplica ${(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 22.1

Mueve ${(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + 3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}}{7 - 3 x}$

Paso 22.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2 + 3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}}{7 - 3 x}$

Paso 22.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2 + 3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}}{7 - 3 x}$

Paso 22.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2 + 3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}}{7 - 3 x}$

Paso 22.5

Divide $2$ por $2$ .

$\frac{\frac{{(7 - 3 x)}^{1} \cdot 2 + 3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}}{7 - 3 x}$

Paso 23

Simplifica ${(7 - 3 x)}^{1} \cdot 2$ .

$\frac{\frac{(7 - 3 x) \cdot 2 + 3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}}{7 - 3 x}$

Paso 24

Mueve $2$ a la izquierda de $7 - 3 x$ .

$\frac{\frac{2 \cdot (7 - 3 x) + 3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}}{7 - 3 x}$

Paso 25

Reescribe $\frac{\frac{2 (7 - 3 x) + 3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}}{7 - 3 x}$ como un producto.

$\frac{2 (7 - 3 x) + 3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{7 - 3 x}$

Paso 26

Multiplica $\frac{2 (7 - 3 x) + 3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{7 - 3 x}$ .

$\frac{2 (7 - 3 x) + 3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} (7 - 3 x)}$

Paso 27

Eleva $7 - 3 x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 (7 - 3 x) + 3 x}{2 ({(7 - 3 x)}^{1} {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}})}$

Paso 28

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 (7 - 3 x) + 3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

Paso 29

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{2 (7 - 3 x) + 3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Paso 30

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 (7 - 3 x) + 3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Paso 31

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{2 (7 - 3 x) + 3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 32

Simplifica.

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Paso 32.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 \cdot 7 + 2 (- 3 x) + 3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 32.2

Simplifica el numerador.

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Paso 32.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 32.2.1.1

Multiplica $2$ por $7$ .

$\frac{14 + 2 (- 3 x) + 3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 32.2.1.2

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$\frac{14 - 6 x + 3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 32.2.2

Suma $- 6 x$ y $3 x$ .

$\frac{14 - 3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 32.3

Reordena los términos.

$\frac{- 3 x + 14}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 32.4

Factoriza $- 1$ de $- 3 x$ .

$\frac{- (3 x) + 14}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 32.5

Reescribe $14$ como $- 1 (- 14)$ .

$\frac{- (3 x) - 1 (- 14)}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 32.6

Factoriza $- 1$ de $- (3 x) - 1 (- 14)$ .

$\frac{- (3 x - 14)}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 32.7

Reescribe $- (3 x - 14)$ como $- 1 (3 x - 14)$ .

$\frac{- 1 (3 x - 14)}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 32.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3 x - 14}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$