Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{2 x + 1}{x + 3}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 2 x + 1$ y $g (x) = x + 3$ .

$\frac{(x + 3) \frac{d}{d x} [2 x + 1] - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x + 3) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 2.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x + 3) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x + 3) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 2.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{(x + 3) (2 + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 2.5

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(x + 3) (2 + 0) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 2.6.1

Suma $2$ y $0$ .

$\frac{(x + 3) \cdot 2 - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 2.6.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x + 3$ .

$\frac{2 \cdot (x + 3) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 2.7

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{2 (x + 3) - (2 x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 2.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{2 (x + 3) - (2 x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 2.9

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{2 (x + 3) - (2 x + 1) (1 + 0)}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 2.10

Simplifica la expresión.

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Paso 2.10.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{2 (x + 3) - (2 x + 1) \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 2.10.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 (x + 3) - (2 x + 1)}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x + 2 \cdot 3 - (2 x + 1)}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x + 2 \cdot 3 - (2 x) - 1 \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1.1

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{2 x + 6 - (2 x) - 1 \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 3.3.1.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 x + 6 - 2 x - 1 \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 3.3.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 x + 6 - 2 x - 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 3.3.2

Combina los términos opuestos en $2 x + 6 - 2 x - 1$ .

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Paso 3.3.2.1

Resta $2 x$ de $2 x$ .

$\frac{0 + 6 - 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 3.3.2.2

Suma $0$ y $6$ .

$\frac{6 - 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 3.3.3

Resta $1$ de $6$ .

$\frac{5}{{(x + 3)}^{2}}$