Cálculo Ejemplos

$x = t {(2 t + 1)}^{2}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d t} (x) = \frac{d}{d t} (t {(2 t + 1)}^{2})$

Paso 2

La derivada de $x$ con respecto a $t$ es $x'$ .

$x'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Reescribe ${(2 t + 1)}^{2}$ como $(2 t + 1) (2 t + 1)$ .

$\frac{d}{d t} [t ((2 t + 1) (2 t + 1))]$

Paso 3.2

Expande $(2 t + 1) (2 t + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d t} [t (2 t (2 t + 1) + 1 (2 t + 1))]$

Paso 3.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d t} [t (2 t (2 t) + 2 t \cdot 1 + 1 (2 t + 1))]$

Paso 3.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d t} [t (2 t (2 t) + 2 t \cdot 1 + 1 (2 t) + 1 \cdot 1)]$

Paso 3.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{d}{d t} [t (2 \cdot 2 t \cdot t + 2 t \cdot 1 + 1 (2 t) + 1 \cdot 1)]$

Paso 3.3.1.2

Multiplica $t$ por $t$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.1.2.1

Mueve $t$ .

$\frac{d}{d t} [t (2 \cdot 2 (t \cdot t) + 2 t \cdot 1 + 1 (2 t) + 1 \cdot 1)]$

Paso 3.3.1.2.2

Multiplica $t$ por $t$ .

$\frac{d}{d t} [t (2 \cdot 2 t^{2} + 2 t \cdot 1 + 1 (2 t) + 1 \cdot 1)]$

Paso 3.3.1.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{d}{d t} [t (4 t^{2} + 2 t \cdot 1 + 1 (2 t) + 1 \cdot 1)]$

Paso 3.3.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{d}{d t} [t (4 t^{2} + 2 t + 1 (2 t) + 1 \cdot 1)]$

Paso 3.3.1.5

Multiplica $2 t$ por $1$ .

$\frac{d}{d t} [t (4 t^{2} + 2 t + 2 t + 1 \cdot 1)]$

Paso 3.3.1.6

Multiplica $1$ por $1$ .

$\frac{d}{d t} [t (4 t^{2} + 2 t + 2 t + 1)]$

Paso 3.3.2

Suma $2 t$ y $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [t (4 t^{2} + 4 t + 1)]$

Paso 3.4

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ es $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ donde $f (t) = t$ y $g (t) = 4 t^{2} + 4 t + 1$ .

$t \frac{d}{d t} [4 t^{2} + 4 t + 1] + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

Paso 3.5

Diferencia.

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Paso 3.5.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 t^{2} + 4 t + 1$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [4 t^{2}] + \frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$t (\frac{d}{d t} [4 t^{2}] + \frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [1]) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

Paso 3.5.2

Como $4$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $4 t^{2}$ con respecto a $t$ es $4 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$t (4 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [1]) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

Paso 3.5.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$t (4 (2 t) + \frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [1]) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

Paso 3.5.4

Multiplica $2$ por $4$ .

$t (8 t + \frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [1]) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

Paso 3.5.5

Como $4$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $4 t$ con respecto a $t$ es $4 \frac{d}{d t} [t]$ .

$t (8 t + 4 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

Paso 3.5.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$t (8 t + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [1]) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

Paso 3.5.7

Multiplica $4$ por $1$ .

$t (8 t + 4 + \frac{d}{d t} [1]) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

Paso 3.5.8

Como $1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $1$ con respecto a $t$ es $0$ .

$t (8 t + 4 + 0) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

Paso 3.5.9

Suma $8 t + 4$ y $0$ .

$t (8 t + 4) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

Paso 3.5.10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$t (8 t + 4) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \cdot 1$

Paso 3.5.11

Multiplica $4 t^{2} + 4 t + 1$ por $1$ .

$t (8 t + 4) + 4 t^{2} + 4 t + 1$

Paso 3.6

Simplifica.

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Paso 3.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$t (8 t) + t \cdot 4 + 4 t^{2} + 4 t + 1$

Paso 3.6.2

Combina los términos.

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Paso 3.6.2.1

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$8 (t^{1} t) + t \cdot 4 + 4 t^{2} + 4 t + 1$

Paso 3.6.2.2

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$8 (t^{1} t^{1}) + t \cdot 4 + 4 t^{2} + 4 t + 1$

Paso 3.6.2.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$8 t^{1 + 1} + t \cdot 4 + 4 t^{2} + 4 t + 1$

Paso 3.6.2.4

Suma $1$ y $1$ .

$8 t^{2} + t \cdot 4 + 4 t^{2} + 4 t + 1$

Paso 3.6.2.5

Mueve $4$ a la izquierda de $t$ .

$8 t^{2} + 4 \cdot t + 4 t^{2} + 4 t + 1$

Paso 3.6.2.6

Suma $8 t^{2}$ y $4 t^{2}$ .

$12 t^{2} + 4 t + 4 t + 1$

Paso 3.6.2.7

Suma $4 t$ y $4 t$ .

$12 t^{2} + 8 t + 1$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$x' = 12 t^{2} + 8 t + 1$

Paso 5

Reemplaza $x'$ con $\frac{d x}{d t}$ .

$\frac{d x}{d t} = 12 t^{2} + 8 t + 1$