Cálculo Ejemplos

$e^{\frac{x}{y}}$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = e^{y}$ y $g (y) = \frac{x}{y}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{x}{y}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{x}{y}$ .

$e^{\frac{x}{y}} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Como $x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $\frac{x}{y}$ con respecto a $y$ es $x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ .

$e^{\frac{x}{y}} (x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}])$

Paso 2.2

Reescribe $\frac{1}{y}$ como $y^{- 1}$ .

$e^{\frac{x}{y}} (x \frac{d}{d y} [y^{- 1}])$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$e^{\frac{x}{y}} (x (- y^{- 2}))$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{\frac{x}{y}} (x (- \frac{1}{y^{2}}))$

Paso 3.2

Combina los términos.

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Paso 3.2.1

Combina $x$ y $\frac{1}{y^{2}}$ .

$e^{\frac{x}{y}} (- \frac{x}{y^{2}})$

Paso 3.2.2

Combina $e^{\frac{x}{y}}$ y $\frac{x}{y^{2}}$ .

$- \frac{e^{\frac{x}{y}} x}{y^{2}}$

Paso 3.3

Reordena los factores en $- \frac{e^{\frac{x}{y}} x}{y^{2}}$ .

$- \frac{x e^{\frac{x}{y}}}{y^{2}}$